« Précis d'épistémologie/Les fondements des mathématiques » : différence entre les versions
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Ligne 151 :
Pour qu'un processus par étapes soit déterminé il faut que la première des étapes qui reste à franchir soit toujours déterminée. On exige donc pour l'ordre des étapes qu'un ensemble d'étapes ultérieures ait toujours un premier élément (ou un plus petit élément). Cela conduit à imposer à la relation d'ordre sur E la propriété suivante :
''
(x est un majorant strict de y si et seulement si x est strictement plus grand (ou après) tous les éléments de y.)
Ligne 157 :
On peut montrer que la propriété des majorants stricts est équivalente à la suivante (pour un ensemble totalement ordonné) :
''Toute partie non-vide de E a un premier élément
Un ensemble est bien ordonné si et seulement si (il est totalement ordonné et chacune de ses parties non-vides a un premier élément
L'ensemble des nombres naturels est le plus petit ensemble infini bien ordonné pour sa relation d'ordre naturelle. On peut définir des ensembles bien ordonnés plus grands simplement en ajoutant des étapes après une succession infinie d'étapes.
Ligne 165 :
Le principe du raisonnement par récurrence peut être généralisé à tous les ensembles bien ordonnés :
''Si x est un ensemble qui contient le premier élément d'un ensemble bien ordonné y et qui contient toujours l'élément z de y quand il contient tous les éléments de y strictement
On le prouve par l'absurde : s'il n'est pas vide, l'ensemble de tous les éléments de y qui ne sont pas dans x a un premier élément
Deux ensembles bien ordonnés E et F représentent le même ordinal si et seulement si ils sont isomorphes, c'est à dire qu'il existe une bijection f de E sur F telle que x<y si et seulement si f(x)<f(y).
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