« Précis d'épistémologie/Les fondements des mathématiques » : différence entre les versions
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*''x<y ou y<x ou x=y
Pour qu'un processus par étapes soit déterminé il faut que la première des étapes qui reste à franchir soit toujours déterminée. On exige donc pour l'ordre des étapes qu'un ensemble d'étapes ultérieures ait toujours un
''L'ensemble des majorants stricts de toute partie de E
(x est un majorant strict de y si et seulement si x est strictement plus grand (ou après) tous les éléments de y.)
On peut montrer que cette propriété est équivalente à la suivante :▼
▲On peut montrer que
''Toute partie de E a un premier élément si elle n'est pas vide.''
Un ensemble est bien ordonné si et seulement si (il est totalement ordonné et L'ensemble des nombres naturels est le plus petit ensemble infini bien ordonné pour sa relation d'ordre naturelle. On peut définir des ensembles bien ordonnés plus grands simplement en ajoutant des étapes après une succession infinie d'étapes.
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Le principe du raisonnement par récurrence peut être généralisé à tous les ensembles bien ordonnés :
''Si x est un ensemble qui contient le premier élément d'un ensemble bien ordonné y et qui contient toujours l'élément z de y quand il contient tous les éléments de y strictement plus petits que z alors x contient tous les éléments de y.''
On le prouve par l'absurde : l'ensemble de tous les éléments de y qui ne sont pas dans x a un
Deux ensembles bien ordonnés E et F représentent le même ordinal si et seulement si ils sont isomorphes, c'est à dire qu'il existe une bijection f de E sur F telle que x<y si et seulement si f(x)<f(y).
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