« Précis d'épistémologie/Les fondements des mathématiques » : différence entre les versions

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L'indénombrabilité est une des raisons de l'incomplétude des fondements des mathématiques. Une théorie ne peut définir qu'un ensemble dénombrable d'ensembles, elle ne peut donc jamais définir tous les éléments d'un ensemble indénombrable, elle ne donne jamais les moyens de remplir complètement les ensembles indénombrables.
 
Deux ensembles ont le même cardinal lorsqu'il existe une bijection de l'un vers l'autre. Cela veut dire qu'on peut identifier tous les éléments de l'un avecpar les éléments de l'autre. Une bijection de E vers F est une fonction qui a E pour domaine et qui est telle que chaque élément de F a un unique antécédent. Deux ensembles finis qui ont le même cardinal ont donc nécessairement le même nombre d'éléments. Le concept de cardinal généralise le concept de nombre d'éléments aux ensembles infinis. Deux ensembles, finis ou infinis, ont le même cardinal si et seulement si ils ont le même nombre d'éléments. Avec cette définition Cantor a fondé une théorie des nombres infinis.
 
Un ensemble est infini dénombrable lorsqu'il a le même cardinal que l'ensemble des nombres naturels.