« Précis d'épistémologie/Les fondements des mathématiques » : différence entre les versions
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Pour les mathématiques ordinaires, et même pour les mathématiques d'un niveau très avancé, la théorie de Zermelo est plus que suffisante pour construire tous les ensembles qu'on veut construire et pour prouver tout ce qu'on veut prouver. En particulier, les nombres réels, les espaces construits à partir des nombres réels, les fonctions qui y sont définies, les espaces de ces fonctions, les fonctionnelles, et donc tous les objets de l'analyse, peuvent tous êtres construits en se limitant aux premiers niveaux de la hiérarchie des ensembles infinis. Les grands ensembles infinis que la théorie de Zermelo ne permet pas de construire sont beaucoup plus rarement utilisés.
L'interprétation de l'axiome de séparation pose une difficulté. Qu'est-ce qu'une formule bien définie? Selon Fraenkel, toute formule bien formée à partir des prédicats fondamentaux ''est élément de'' et ''est égal à'', et des connecteurs logiques, est une formule bien définie. L'axiome de séparation peut donc toujours leur être appliqué. Mais ces formules dites bien définies peuvent contenir des affirmations sur tous les ensembles, comme si l'univers de tous les ensembles avait une existence objective. Mais nous ne savons pas ce que pourrait être un tel univers. Nous ne savons donc pas toujours quel sens donner aux formules qui servent à
Pour corriger l'erreur de Fraenkel, il suffit d'exiger des formules bien définies auxquelles l'axiome de séparation est appliqué qu'elles ne contiennent que des quantificateurs bornés, c'est à dire qu'elles ne contiennent pas d'affirmations sur tous les ensembles, mais seulement sur tous les éléments d'ensembles déjà définis. Avec ces limitations, et sans l'axiome de remplacement, on a une puissance bien suffisante pour les mathématiques courantes.
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