« Précis d'épistémologie/Les fondements des mathématiques » : différence entre les versions

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Un ensemble est bien ordonné si et seulement si (il est totalement ordonné et il est tel que chacune de ses parties a un plus petit élément si elle n'est pas vide).
 
L'ensemble des nombres naturels est le plus petit ensemble infini bien ordonné pour sa relation d'ordre naturelle. On peut définir des ensembles bien ordonnés plus grands simplement en ajoutant des étapes après une succession infinie d'étapes.
 
Le principe du raisonnement par récurrence peut être généralisé à tous les ensembles bien ordonnés :
 
''Si x est un ensemble qui contient le premier élément d'un ensemble bien ordonné y et qui contient toujours l'élément z de y quand il contient tous les éléments de y plus petits que z alors x contient tous les éléments de y.''
(...)
 
On le prouve par l'absurde : l'ensemble de tous les éléments de y qui ne sont pas dans x a un plus petit élément s'il n'est pas vide. L'existence de ce plus petit élément contredit l'une ou l'autre des conditions sur x. Donc l'ensemble de tous les éléments de y qui ne sont pas dans x est vide.
 
Deux ensembles bien ordonnés représentent le même ordinal si et seulement si ils sont isomorphes, c'est à dire qu'il existe une bijection f telle que x<y si et seulement si f(x)<f(y).
 
Comme les cardinaux, les ordinaux peuvent considérés comme des nombres, finis ou infinis. Mais l'arithmétique des ordinaux est plus fine que celle des cardinaux, parce que deux ensembles bien ordonnés infinis peuvent avoir le même cardinal tout en représentant des ordinaux très différents.
 
== Comment les ensembles sont-ils bien définis ? ==