« Précis d'épistémologie/Les fondements des mathématiques » : différence entre les versions
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== Les ensembles bien ordonnés et l'induction infinie ==
Le concept de bon ordre permet de préciser le concept d'un processus dont chaque étape est déterminée dès que les étapes précédentes ont été franchies. Lorsqu'un tel processus est fini, chacune de ses n étapes peut être numérotée par les nombres naturels de 1 à n. Lorsqu'un processus est infini, chacune de ses étapes peut être identifiée par un élément d'un ensemble bien ordonné.
''Un ensemble E est totalement ordonné si et seulement s'il existe une relation < telle que pour tous les x, y et z dans E,
*''si (x<y et y<z) alors x<z
*''si x<y alors non y<x
*''x<y ou y<x ou x=y
Pour qu'un processus par étapes soit déterminé il faut que la première des étapes qui reste à franchir soit toujours déterminée. On exige donc pour l'ordre des étapes qu'un ensemble d'étapes ultérieures ait toujours un plus plus petit élément. Cela conduit à imposer à la relation d'ordre sur E la propriété suivante :
''L'ensemble des majorants stricts de toute partie de E a un plus petit élément, s'il n'est pas vide.''
On peut montrer que cette propriété est équivalente à la suivante :
''Toute partie de E a un plus petit élément si elle n'est pas vide.''
Un ensemble est bien ordonné si et seulement si (il est totalement ordonné et il est tel que chacune de ses parties a un plus petit élément si elle n'est pas vide).
(...)
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