« Précis d'épistémologie/Les fondements des mathématiques » : différence entre les versions
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→Il n'y a pas de modèle ultime pour les théories des ensembles : compléments sur V |
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Pour avoir un modèle ultime, il faudrait pouvoir bien définir l'ensemble de tous les ensembles bien définis, mais ce n'est pas possible, parce qu'il serait élément de lui-même.
On peut songer à définir un modèle ultime <math>V</math> pour une théorie des ensembles de la façon suivante :
<math>V_0 = \varnothing</math> où <math>\varnothing</math> est l'ensemble vide {}.
<math>V_\alpha = \bigcup_{\beta < \alpha} \mathcal{P} (V_\beta)</math>
pour chaque ordinal α, où <math>\mathcal{P} (X) \!</math> est l'ensemble des parties de <math>X</math>.
La classe <math>V</math> est alors définie comme la réunion de tous les <math>V_\alpha</math> pour tous les ordinaux α :
<math> V = \bigcup_{\alpha} V_\alpha</math>
Mais cette classe n'est pas bien déterminée. Pour qu'elle le soit il faudrait que la classe de tous les ordinaux soit bien déterminée au préalable. Or un ordinal est essentiellement un ensemble bien ordonné. On ne peut pas définir la classe de tous les ensembles à partir de celle de tous les ordinaux, parce que la seconde est définie à partir de la première.
Pour les théories des nombres ou d'autres êtres mathématiques particuliers, la vérité des axiomes est toujours établie par référence à un modèle. On a un modèle qui nous sert de critère pour la vérité des axiomes. Pour les théories des ensembles, on ne peut pas avoir de modèle ultime, mais on a quand même un critère de vérité. Il faut que les ensembles dont nous prouvons l'existence soient ou bien bien définis, ou bien que leur existence résulte de celle des ensembles bien définis. Faute d'un modèle ultime, c'est l'exigence de bonnes définitions qui nous sert de critère de vérité.
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