« Précis d'épistémologie/Les fondements des mathématiques » : différence entre les versions
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Pour formaliser la preuve de cohérence des axiomes de Zermelo il suffit d'ajouter aux axiomes de Zermelo un élargissement de l'axiome de l'infini : ''Il existe un ensemble qui contient N et qui contient toujours x U P(x) quand il contient x''. On obtient ainsi une théorie plus puissante qui permet de prouver la cohérence de la précédente. Si on veut prouver la cohérence de cette nouvelle théorie, il suffit de se donner un nouvel axiome de l'infini : ''Il existe un ensemble qui contient M et qui contient toujours x U P(x) quand il contient x''. On peut définir ainsi une suite de théories toujours plus puissantes telles que la cohérence de l'une peut toujours être prouvée par la suivante.
== Il n'y a pas de modèle
On définit un modèle pour une théorie des ensembles lorsqu'on définit un ensemble d'ensembles tel que tous les axiomes sont vrais quand les quantificateurs non-bornés sont interprétés comme des quantificateurs bornés à cet ensemble d'ensembles. L'ensemble d'ensembles joue le rôle d'univers de tous les ensembles étudiés dans la théorie. Un modèle naturel pour une théorie des ensembles est de prendre la réunion de tous les ensembles définissables dans la théorie (''M'' est un tel modèle naturel pour la théorie de Zermelo). Mais ce modèle ne peut pas être un modèle
Pour avoir un modèle
Pour les théories des nombres ou d'autres êtres mathématiques particuliers, la vérité des axiomes est toujours établie par référence à un modèle. On a un modèle
== L'incomplétude des fondements ==
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