« Précis d'épistémologie/Les fondements des mathématiques » : différence entre les versions

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Pour formaliser la preuve de cohérence des axiomes de Zermelo il suffit d'ajouter aux axiomes de Zermelo un élargissement de l'axiome de l'infini : ''Il existe un ensemble qui contient N et qui contient toujours x U P(x) quand il contient x''. On obtient ainsi une théorie plus puissante qui permet de prouver la cohérence de la précédente. Si on veut prouver la cohérence de cette nouvelle théorie, il suffit de se donner un nouvel axiome de l'infini : ''Il existe un ensemble qui contient M et qui contient toujours x U P(x) quand il contient x''. On peut définir ainsi une suite de théories toujours plus puissantes telles que la cohérence de l'une peut toujours être prouvée par la suivante.
 
== Il n'y a pas de modèle standardultime pour les théories des ensembles ==
 
On définit un modèle pour une théorie des ensembles lorsqu'on définit un ensemble d'ensembles tel que tous les axiomes sont vrais quand les quantificateurs non-bornés sont interprétés comme des quantificateurs bornés à cet ensemble d'ensembles. L'ensemble d'ensembles joue le rôle d'univers de tous les ensembles étudiés dans la théorie. Un modèle naturel pour une théorie des ensembles est de prendre la réunion de tous les ensembles définissables dans la théorie (''M'' est un tel modèle naturel pour la théorie de Zermelo). Mais ce modèle ne peut pas être un modèle standardultime, parce qu'il ne permet pas de définir une vérité standardultime. Quand on énonce un théorème qui porte sur tous les ensembles, sa vérité va au delà de la vérité sur la réunion de tous les ensembles définissables dans la théorie. On veut qu'il soit vrai même pour des ensembles qui ne sont pas définissables dans la théorie, parce qu'on veut qu'il soit vrai vraiment pour tous les ensembles, pourvu qu'ils soient bien définis.
 
Pour avoir un modèle standardultime, il faudrait pouvoir bien définir l'ensemble de tous les ensembles bien définis, mais ce n'est pas possible, parce qu'il serait élément de lui-même.
 
Pour les théories des nombres ou d'autres êtres mathématiques particuliers, la vérité des axiomes est toujours établie par référence à un modèle. On a un modèle standard qui nous sert de critère pour la vérité des axiomes. Pour les théories des ensembles, on ne peut pas avoir de modèle standardultime, mais on a quand même un critère de vérité. Il faut que les ensembles dont nous prouvons l'existence soient ou bien bien définis, ou bien que leur existence résulte de celle des ensembles bien définis. Faute d'un modèle standardultime, c'est l'exigence de bonnes définitions qui nous sert de critère de vérité.
 
== L'incomplétude des fondements ==