« Précis d'épistémologie/Les fondements des mathématiques » : différence entre les versions
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Complément : un nouvel axiome pour la théorie des ensembles |
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Une [[Précis d'épistémologie/Principes logiques|liste finie de principes]] suffit pour engendrer toutes les lois logiques. C'est le théorème de complétude de la logique de Gödel. L'ensemble des lois logiques est donc récursivement énumérable. Mais puisque l'ensemble des lois logiques est indécidable, l'ensemble des formules qui ne sont pas des lois logiques n'est pas récursivement énumérable. Les lois logiques sont vraies dans tous les mondes possibles. Les négations des lois logiques sont des absurdités, fausses dans tous les mondes possibles. Une formule qui n'est ni une loi logique, ni la négation d'une loi logique, est vraie dans certains mondes et fausse dans d'autres, elle décrit des mondes possibles, des mondes qu'on peut imaginer. Tout système fini d'axiomes qui décrit un monde possible est tel que la négation de sa conjonction n'est pas une loi logique. L'ensemble des formules qui ne sont ni des lois logiques, ni des absurdités est l'ensemble de tous les axiomes et de tous les systèmes finis d'axiomes qui portent sur au moins un monde qu'on peut imaginer. Dire qu'il n'est pas récursivement énumérable veut dire qu'on ne peut pas donner une liste finie de principes qui suffise pour engendrer toutes ces systèmes d'axiomes. L'imagination déborde tous les cadres. Quelle que soit la liste finie de principes qu'on se donne, il y a toujours des mondes possibles qu'elle ne permet pas d'étudier. L'incomplétude mathématique est donc une conséquence de l'universalité et de la puissance de l'imagination.
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