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Complément : un nouvel axiome pour la théorie des ensembles
(Complément : un nouvel axiome pour la théorie des ensembles)
Une [[Précis d'épistémologie/Principes logiques|liste finie de principes]] suffit pour engendrer toutes les lois logiques. C'est le théorème de complétude de la logique de Gödel. L'ensemble des lois logiques est donc récursivement énumérable. Mais puisque l'ensemble des lois logiques est indécidable, l'ensemble des formules qui ne sont pas des lois logiques n'est pas récursivement énumérable. Les lois logiques sont vraies dans tous les mondes possibles. Les négations des lois logiques sont des absurdités, fausses dans tous les mondes possibles. Une formule qui n'est ni une loi logique, ni la négation d'une loi logique, est vraie dans certains mondes et fausse dans d'autres, elle décrit des mondes possibles, des mondes qu'on peut imaginer. Tout système fini d'axiomes qui décrit un monde possible est tel que la négation de sa conjonction n'est pas une loi logique. L'ensemble des formules qui ne sont ni des lois logiques, ni des absurdités est l'ensemble de tous les axiomes et de tous les systèmes finis d'axiomes qui portent sur au moins un monde qu'on peut imaginer. Dire qu'il n'est pas récursivement énumérable veut dire qu'on ne peut pas donner une liste finie de principes qui suffise pour engendrer toutes ces systèmes d'axiomes. L'imagination déborde tous les cadres. Quelle que soit la liste finie de principes qu'on se donne, il y a toujours des mondes possibles qu'elle ne permet pas d'étudier. L'incomplétude mathématique est donc une conséquence de l'universalité et de la puissance de l'imagination.
 
== Complément : un nouvel axiome pour la théorie des ensembles ==
 
(en cours de réflexion)
 
On exige des ensembles définis dans la théorie qu'ils soient toujours bien définis, au sens où leur définition détermine complètement comment ils sont remplis. Les classes au sens de Gödel-Bernays ne sont pas bien définies, parce que la façon dont elles sont remplies ne dépend pas que de leur définition. La classe de tous les ensembles par exemple dépend des axiomes sur l'existence des ensembles.
 
On dira d'un ensemble E qu'il est potentiellement définissable lorsque qu'il existe une liste bien ordonnée d'ensembles, finie ou infinie dénombrable, qui commence par l'ensemble vide et qui se termine par E et qui est telle que tous les éléments d'un ensemble de la liste sont des ensembles qui le précèdent dans la liste ou des parties de tels ensembles.
 
On peut alors énoncer comme axiome d'une théorie pure des ensembles :
 
'''Tous les ensembles sont des ensembles potentiellement définissables ou des parties de tels ensembles.'''
 
Cet axiome est vrai si on limite le domaine de tous les ensembles aux ensembles bien définis et à leurs parties.
 
(...)
 
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