« Précis d'épistémologie/Les fondements des mathématiques » : différence entre les versions
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Ligne 154 :
== Quels sont les ensembles définissables dans la théorie de Zermelo ? ==
On peut définir tous les nombres naturels naturels à partir d'un nombre initial, zéro, et d'une fonction constructrice de nombres,
== L'axiome de remplacement ==
Ligne 172 :
On peut définir une théorie beaucoup plus puissante que celle de Zermelo qui n'autorise que des constructions bien définies en se servant des constructrices fondamentales et de leurs compositions finies.
Les constructrices de première espèce construisent des ensembles à partir d'ensembles déjà construits. Les constructrices fondamentales de la théorie de Zermelo (''la paire de, l'ensemble-somme de, l'ensemble des parties de'' et toutes les constructrices qu'on peut définir avec l'axiome de séparation pourvu que tous les quantificateurs soient bornés dans la définition des ensembles) sont des constructrices de première espèce. Les compositions finies de constructrices de première espèce sont aussi des constructrices de première espèce. On introduit deux nouvelles constructrices fondamentales : ''l'ensemble-image par'' et ''l'ensemble
Si ''f'' est une constructrice de première espèce à un argument, ''l'ensemble-image par f de'' est une constructrice de première espèce qui pour tout ensemble ''x'' construit ''l'ensemble de tous les y tels qu'il existe z dans x tel que y=f(z)''. ''L'ensemble infini par f de x'' est l'ensemble dont les éléments sont ''x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x)))'' ... pour toutes les itérations finies de ''f''.
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