Différences entre les versions de « Précis d'épistémologie/Les fondements des mathématiques »

aucun résumé de modification
== Quels sont les ensembles définissables dans la théorie de Zermelo ? ==
 
On peut définir tous les nombres naturels naturels à partir d'un nombre initial, zéro, et d'une fonction constructrice de nombres, "''le successeur de''". De même on peut définir tous les ensembles définissables dans la théorie de Zermelo à partir d'ensembles initiaux et de constructrices d'ensembles. Les ensembles initiaux sont l'ensemble vide et l'ensemble de tous les nombres naturels. Les constructrices fondamentales sont "''la paire de''", "''l' ensemble-somme de''", "''l'ensemble des parties de''" et toutes les constructrices en nombre infini qu'on peut définir avec l'axiome de séparation, pourvu que les quantificateurs soient bornés dans la définition des ensembles. Les constructrices sont toutes les compositions finies de constructrices fondamentales. Les ensembles définissables dans la théorie de Zermelo sont tous ceux qu'on obtient en appliquant une de ces constructrice à l'ensemble vide et à l'ensemble des nombres naturels.
 
== L'axiome de remplacement ==
On peut définir une théorie beaucoup plus puissante que celle de Zermelo qui n'autorise que des constructions bien définies en se servant des constructrices fondamentales et de leurs compositions finies.
 
Les constructrices de première espèce construisent des ensembles à partir d'ensembles déjà construits. Les constructrices fondamentales de la théorie de Zermelo (''la paire de, l'ensemble-somme de, l'ensemble des parties de'' et toutes les constructrices qu'on peut définir avec l'axiome de séparation pourvu que tous les quantificateurs soient bornés dans la définition des ensembles) sont des constructrices de première espèce. Les compositions finies de constructrices de première espèce sont aussi des constructrices de première espèce. On introduit deux nouvelles constructrices fondamentales : ''l'ensemble-image par'' et ''l'ensemble infini obtenu par les itérations finies de'', que l'on abrège en ''l'ensemble infini par''. Ce sont des constructrices de deuxième espèce. Elles construisent des constructrices de première espèce à partir des constructrices de première espèce.
 
Si ''f'' est une constructrice de première espèce à un argument, ''l'ensemble-image par f de'' est une constructrice de première espèce qui pour tout ensemble ''x'' construit ''l'ensemble de tous les y tels qu'il existe z dans x tel que y=f(z)''. ''L'ensemble infini par f de x'' est l'ensemble dont les éléments sont ''x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x)))'' ... pour toutes les itérations finies de ''f''.
4 741

modifications