Différences entre les versions de « Précis d'épistémologie/Les fondements des mathématiques »

Montrons que toutes les constructrices de première espèce de la présente théorie peuvent être définies par des relations dans une théorie pure des ensembles.
 
''{x,y}=z'' est défini par ''Pour tout w, w est élément de z si et seulement si (w=x ou w=y)''.
 
''y est l'ensemble-somme de x'' est défini par ''Pour tout z, z est élément de y si et seulement s'il existe w tel que (w est élément de x et z est élément de w)''.
 
''y est l'ensemble des parties de x'' est défini par ''Pour tout z, z est élément de y si et seulement si z est inclus dans x''
 
Soit ''A(w, y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub>)'' un énoncé dont toutes les variables libres sont ''w, y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub>''. On suppose qu'uneun variable liéequantificateur dans ''A(w, y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub>)'' est toujours bornéeborné par l'un des ''y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub>''. L'axiome de séparation affirme que ''Pour tous les y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub> et tout x, il existe z tel que pour tout w, w est élément de z si et seulement si (w est élément de x et A(w, y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub>))''. Cela revient à affirmer l'existence d'une constructrice ''f'' à n+1 arguments. ''f(x,y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub>) = z'' est défini par ''Pour tout w, w est élément de z si et seulement si (w est élément de x et A(w, y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub>))''. Toutes les constructrices définies avec l'axiome de séparation sont donc définissables par des relations dans une théorie pure des ensembles.
 
Une constructrice obtenue par composition de constructrices définissables dans la théorie est elle aussi définissable dans la théorie. Par exemple ''g(f(x))=y'' peut être défini par ''Il existe z tel que f(x)=z et g(z)=y''
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