« Précis d'épistémologie/Les fondements des mathématiques » : différence entre les versions

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''y est l'ensemble des parties de x'' est défini par ''Pour tout z, z est élément de y si et seulement si z est inclus dans x''.
 
Soit ''A(w, y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub>)'' une formule dont toutes les variables libres sont ''w, y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub>''. On suppose que lesqu'une variablesvariable liéesliée dans ''A(w, y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub>)'' sontest toujours bornéesbornée par l'un des ''y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub>''. L'axiome de séparation affirme que ''Pour tous les y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub> et tout x, il existe z tel que pour tout w, w est élément de z si et seulement si (w est élément de x et A(w, y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub>))''. Cela revient à affirmer l'existence d'une constructrice ''f'' à n+1 arguments. ''f(x,y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub>) = z'' est défini par ''Pour tout w, w est élément de z si et seulement si (w est élément de x et A(w, y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub>))''. Toutes les constructrices définies avec l'axiome de séparation sont donc définissables par des relations dans une théorie pure des ensembles.
 
Une constructrice obtenue par composition de constructrices définissables dans la théorie est elle aussi définissable dans la théorie. Par exemple ''g(f(x))=y'' peut être défini par ''Il existe z tel que f(x)=z et g(z)=y''.