Différences entre les versions de « Précis d'épistémologie/Les fondements des mathématiques »

''{x,y}=z'' est défini par ''Pour tout w, w est élément de z si et seulement si (w=x ou w=y)''.
 
''Ly est l'ensemble-somme de x = y'' est défini par ''Pour tout z, z est élément de y si et seulement s'il existe w tel que (w est élément de x et z est élément de w)''.
 
''Ly est l'ensemble des parties de x = y'' est défini par ''Pour tout z, z est élément de y si et seulement si z est inclus dans x''.
 
Soit ''A(w, y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub>)'' une formule dont toutes les variables libres sont ''w, y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub>''. On suppose que les variables liées dans ''A(w, y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub>)'' sont toujours bornées par l'un des ''y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub>''. L'axiome de séparation affirme que ''Pour tous les y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub> et tout x, il existe z tel que pour tout w, w est élément de z si et seulement si w est élément de x et A(w, y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub>)''. Cela revient à affirmer l'existence d'une constructrice ''f'' à n+1 arguments définie par la relation. ''f(x,y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub>) = z'' siest etdéfini seulementpar si pour''Pour tout w, w est élément de z si et seulement si (w est élément de x et A(w, y<sub>1</sub> ... y<sub>n</sub>))''. Toutes les constructrices définies avec l'axiome de séparation sont donc définissables par des relations dans une théorie pure des ensembles.
 
Une constructrice obtenue par composition de constructrices définissables dans la théorie est elle aussi définissable dans la théorie. Par exemple ''g(f(x))=y'' peut être défini par ''Il existe z tel que f(x)=z et g(z)=y''.
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