Différences entre les versions de « Précis d'épistémologie/Les fondements des mathématiques »

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Les mathématiques, ou la mathématique, peuvent être définies comme la science de tout ce qui est logiquement possible, tous les êtres et tous les concepts qui peuvent être étudiés dans une théorie. Pour qu'un être mathématique existe, il suffit qu'une théorie détermine correctement son existence, on ne demande pas qu'il existe dans la réalité tangible et observable.
 
La logique du premier ordre donne les moyens de faire des théories avec un nombre fini de concepts fondamentaux appliqués à un domaine, fini ou non, d'individus. Pour raisonner avec les principes de la logique du premier ordre sur tous les concepts qu'on peut appliquer aux individus d'un domaine spécifié, il suffit de considérer les concepts (les propriétés et les relations) comme de nouveaux individus et de se donner une nouvelle relation d'attribution, qui relie les conceptspropriétés (ou les relations) aux individus auxquels ilselles sont attribuésattribuées (ou aux n-uplets d'individus). On peut ainsi fonder la logique du deuxième ordre et les logiques d'ordre supérieur. La théorie des ensembles est une façon plus simple de faire une théorie de tout ce qui est logiquement possible, tout en restant dans le cadre de la logique du premier ordre. Comme elle est un peu déroutante pour le débutant, ce chapitre commence par exposer une façon plus naturelle de fonder les mathématiques, en partant de la théorie des nombres naturels.
 
== Les nombres naturels et les axiomes de Peano ==
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