'' Si '''Si E(x) alors C''' et '''Il existe un x tel que E(x)''' sont des conséquences logiques des prémisses P et si '''x''' est une variable qui n'est mentionnée ni dans '''C''' ni dans les prémisses P alors '''C''' est une conséquence logique des mêmes prémisses.''
''Une remarque à propos de la logique des fonctions'' : les fonctions d'une théorie peuvent toujours être représentées par des relations. Par exemple une fonction '''f''' à un argument peut être représentée par la relation binaire '''R''' : '''Rxy si et seulement si f(x)=y'''. DeUne cettefonction façon'''f''' à deux arguments peut être représentée par la relation ternaire '''R''' : '''Rxyz si et seulement si f(x,y)=z'''. Il en va de même bien sûr pour les fonctions qui ont davantage d'arguments. Les fonctions sont également appelées des opérateurs. En remplaçant les fonctions par les relations qu'elles définissent, on peut toujours associer à une structure définie avec des fonctions une structure équivalente définie seulement avec des relations. C'est pourquoi il n'est pas nécessaire de mentionner les fonctions dans la définition des mondes logiquement possibles. On peut se passer des fonctions et raisonner seulement avec une logique des relations. Mais il est souvent plus commode de raisonner avec une théorie qui autorise lesdes fonctions. Les règles précédentes sont formulées de telle façon qu'elles sont valables à la fois pour une logique pure des relations et pour une logique des fonctions. La seule différence est dans la formation des noms d'individus. Si on n'a pas de fonctions, les noms d'individus sont des variables ou des constantes fondamentales. On peut même se passer des constantes fondamentales en les représentant par des propriétés : la constante '''c''' est représentée par la propriété '''P''' : '''Px si et seulement si x=c''' qui est vraie seulement de '''c'''. Si on procède de cette façon, les individus sont toujours nommés avec des variables.
==Les raisonnements sans hypothèse et les lois logiques==
Ligne 356 :
"Le meilleur élève de" est le nom d'un fonction qui associe à un professeur son meilleur élève. De façon générale, on nomme tous les êtres en se donnant des noms simples et des noms composés avec des fonctions.
Une fonction '''f(x)''' à un argument '''x''' définit une relation binaire '''y=f(x)'''.
Une fonction '''f(x,y)''' à deux arguments '''x''' et '''y''' définit une relation ternaire '''z=f(x,y)'''.
Il en va de même bien sûr pour les fonctions qui ont davantage d'arguments.
Les fonctions sont également appelées des opérateurs.
En remplaçant les fonctions par les relations qu'elles définissent, on peut toujours associer à une structure définie avec des fonctions une structure équivalente définie seulement avec des relations. C'est pourquoi il n'est pas nécessaire de mentionner les fonctions dans la définition des mondes logiquement possibles.
=== Les règles fondamentales de la logique de l'identité ===
