Différences entre les versions de « Précis d'épistémologie/Principes logiques »

(→‎Le savoir mathématique : compléments)
Une théorie vraie d'un monde logiquement possible est nécessairement cohérente, puisque les contradictions sont fausses dans tous les mondes logiquement possibles.
 
Une théorie cohérente est vraie d'au moins un monde logiquement possible. C'est le théorème de complétude de Gödel. Si on trouvait une théorie nécessairement fausse, c'est à dire fausse dans tous les mondes logiquement possibles, sans qu'on puisse prouver que ses axiomes conduisent à une contradiction, cela montrerait que notre logique est incomplète, qu'elle ne suffirait pas pour prouver toutes les vérités logiques nécessaires. Mais Gödel a prouvé dans sa thèse de doctorat que notre logique est complète (Gödel 1929).
 
Nous développons le savoir mathématique en réfléchissant à nos propres paroles. Les mondes logiquement possibles sont définis par la parole, avec des ensembles d'énoncés atomiques. Connaître ces mondes revient à connaître les paroles qui les définissent. Les mondes mathématiques ne sont rien de plus que ce que nous définissons. Rien n'est caché, parce qu'ils sont notre œuvre. Nous pouvons tout savoir sur eux parce que nous déterminons ce qu'ils sont.
Quand nous inventons, nous modifions l'actuel mais nous ne modifions pas l'espace de tous les possibles. Ce qui est possible est possible quoique nous fassions. Nous agissons souvent pour rendre accessible ce qui auparavant était moins accessible, mais il ne s'agit jamais de rendre possible l'impossible, nous modifions seulement les possibilités relatives à notre situation actuelle. Quand nous rendons impossible le possible, il s'agit là encore de possibilités relatives. L'espace des possibilités absolues, qu'elles soient logiques ou naturelles, ne dépend pas de nous.
 
Quand nous développons le savoir mathématique nous découvrons une possibilité de parole.
Il suffit d'expliquer comment nous raisonnons sur nos propres paroles pour montrer comment nous acquérons un savoir mathématique sur les structures finies, parce qu'elles sont définies avec des ensembles finis d'énoncés atomiques.
 
Nous acquérons un savoir mathématique sur les structures finies en raisonnant sur nos propres paroles, parce que ces structures sont définies avec des ensembles finis d'énoncés atomiques.
 
Le savoir sur les structures mathématiques infinies est plus difficile à comprendre. Elles sont définies avec des ensembles infinis d'énoncés atomiques. Nous connaissons ces ensembles infinis à partir de leur définition finie. Deux procédés sont fondamentaux pour définir les ensembles infinis :
* La définition de l'ensemble de tous les sous-ensembles
 
Dès qu'un ensemble '''x''' est défini, l'axiome de l'ensemble des parties nous autorise à définir l'unique ensemble qui contient tous les ensembles inclus dans '''x'''. Si '''x''' est un ensemble infini, l'ensemble des parties de '''x''' est un ensemble infini encore plus grand.
 
Pour expliquer le savoir mathématique il faut expliquer comment nous sommes capables de raisonner correctement sur les ensembles infinis que nous définissons.
 
 
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