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→‎La logique de l'identité : Le problème de la liaison et la diversité des noms d'un même être
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== La logique de l'identité ==
 
=== LaLe problème de la liaison et la diversité des noms d'un même être ===
 
On résout le problème de la liaison des concepts (deux concepts sont-ils vrais du même individu ou d'individus différents ?) en identifiant les individus auxquels on attribue des concepts. Mais la diversité des noms d'un même être pose problème : quand deux concepts sont attribués l'un à x, l'autre à y, sont-ils liés parce qu'ils sont attribués au même individu ou non ? Si x=y ils sont liés, si x est différent de y ils ne sont pas liés.
 
'''x=y''' veut dire que x et y sont des noms du même être. On a besoin de la relation d'identité lorsqu'on ne peut pas conclure de la diversité des noms à la diversité des êtres parce qu'un même être peut être nommé de plusieurs façons.
En remplaçant les fonctions par les relations qu'elles définissent, on peut toujours associer à une structure définie avec des fonctions une structure équivalente définie seulement avec des relations. C'est pourquoi il n'est pas nécessaire de mentionner les fonctions dans la définition des mondes logiquement possibles.
 
=== Les règles fondamentales de la logique de l'identité ===
=== Le principe d'indiscernabilité des identiques ===
 
Sachant que '''x=y''' veut dire que x et y sont des noms du même être, les principes de réflexivité de l'identité '''x=x''', de symétrie, '''si x=y alors y=x''', et de transitivité, '''si x=y et y=z alors x=z''' sont vrais par définition, comme le principe d'indiscernabilité des identiques :
 
Si '''x=y''', tout ce qui est vrai de '''x''' est également vrai de '''y'''.
 
'''Si E(x) et x=y alors E(y)'''
 
pour tout énoncé '''E(x)''' à propos de '''x'''.
 
Le principe d'indiscernabilité des identiques permet de prouver le principe de transitivité. En remplaçant '''E(z)''' par '''w=z''' on obtient :
'''Si x=y alors y=x'''
 
'''x=x''' peut être entendu de deux façons : un être est toujours identique à lui-même, ou un nom '''x''' doit toujours nommer le même être.
 
=== L'identité des individus dans les mondes naturellement possibles ===
'''Deux propriétés ou relations théoriques sont identiques si et seulement si elles sont vraies des mêmes êtres dans tous les modèles de la théorie, c'est à dire dans tous les mondes logiquement possibles tels que ses axiomes sont vrais.'''
 
=== LesL'identité structuresdes enstructures tantet queles propriétésisomorphismes ===
 
Lorsqu'on parle de ressemblance entre deux individus, on entend qu'une partie des propriétés qui sont attribuées à l'un peut être attribuée à l'autre. Lorsqu'on parle de ressemblance entre deux systèmes, l'expression 'ce qui est vrai de l'un est également vrai de l'autre' peut recevoir une signification plus subtile. On entend qu'il existe une projection f qui permet de remplacer les individus x du premier système par des individus f(x) du second système, de telle façon que des énoncés vrais sur le premier système soient remplacés par des énoncés vrais sur le second système. Une telle projection est appelée en mathématiques un morphisme, ou un isomorphisme si elle est bijective, pour dire que les deux systèmes ont la même forme, ou la même structure.
Lorsqu'une théorie n'est pas catégorique, des structures ou des systèmes différents, non-isomorphes, peuvent avoir la même structure, telle qu'elle est définie par la théorie. Par exemple, on peut dire de tous les espaces vectoriels qu'ils ont une structure d'espace vectoriel.
 
=== Les structuressymétries sont des automorphismes symétriques===
 
Un automorphisme d'une structure E est un isomorphisme interne, un isomorphisme de E dans E.
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