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Précisions
(Précisions)
 
''Si '''E(i)''' est une conséquence logique des prémisses P et si '''i''' est un individu qui n'est pas mentionné dans ces prémisses alors '''pour tout x, E(x)''' est une conséquence logique des mêmes prémisses.''
 
'''E(x)''' est l'énoncé obtenu à partir de '''E(i)''' en substituant '''x''' à toutes les occurrences de '''i''' dans '''E(i)'''. On suppose que '''x''' n'est pas mentionné dans '''E(i)'''.
 
Un exemple d'usage de cette règle est le ''Je'' philosophique, ou cartésien. On dit ''Je'' sans faire aucune hypothèse particulière sur l'individu ainsi nommé. Dès lors tout ce qu'on dit sur lui peut être appliqué à tous les individus. Si par exemple on a prouvé ''Je ne peux pas douter que je doute quand je doute'' sans faire d'hypothèse particulière sur soi-même, on peut déduire ''Personne ne peut douter qu'il doute quand il doute''.
''Si '''i''' est un individu, alors '''Il existe un x tel que E(x)''' est une conséquence logique de '''E(i)'''.''
 
Dans la règle de la preuve directe d'existence, '''E(x)''' est l'énoncé obtenu en substituant '''x''' à certaines, pas forcément toutes les occurrences de '''i''' dans '''E(i)'''. On suppose que '''x''' n'est pas mentionné dans '''E(i)'''.
 
'''La règle d'élimination du quantificateur existentiel'''
'' '''C''' est une conséquence logique des deux prémisses '''Si E(i) alors C''' et '''Il existe un x tel que E(x)''', pourvu que l'individu '''i''' ne soit pas mentionné dans '''C'''.''
 
Dans la règle d'élimination du quantificateur existentiel, '''E(ix)''' est l'énoncé obtenu en substituant '''ix''' à toutes les occurrences de '''xi''' dans '''E(i)'''. On suppose que '''x''' n'est pas mentionné dans '''E(i)'''.
 
== L'interdéfinissabilité des connecteurs logiques ==
 
Les connecteurs logiques peuvent être définis les uns à partir des autres. Par exemple le quantificateur existentiel peut être défini à partir du quantificateur universel et de la négation :
 
'''Il existe un x tel que p''' veut dire qu''''il est faux que tout x est tel que non p''', autrement formulé, '''non(pour tout x non p)'''.
 
On peut aussi adopter la définition inverse :
 
'''Pour tout x, p''' veut dire qu''''il est faux qu'il existe un x tel que non p''', c'est à dire, '''non(il existe un x tel que non p)'''.
 
De même on peut définir la disjonction à partir de la conjonction, ou l'inverse :
 
'''p ou q''' veut dire '''non(non p et non q)'''
 
'''p et q''' veut dire '''non(non p ou non q)'''
 
Le conditionnel peut être défini à partir de la conjonction ou de la disjonction :
 
'''Si p alors q''' veut dire '''non(p et non q)'''
 
'''Si p alors q''' veut dire aussi '''q ou non p'''
 
Le biconditionnel '''si et seulement si''' peut être défini à partir du conditionnel et de la conjonction :
 
'''p si et seulement si q''' veut dire '''(si p alors q) et (si q alors p)'''
 
Il peut aussi être défini à partir des autres connecteurs :
 
'''p si et seulement si q''' veut dire '''(p et q) ou (non p et non q)'''
 
ou encore :
 
'''p si et seulement si q''' veut dire '''non( (p et non q) ou (non p et q) )'''
 
On pourrait aussi introduire le connecteur logique '''ni ni''' et définir tous les autres connecteurs à partir de lui :
 
'''non p''' veut dire '''ni p ni p'''
 
'''p et q''' veut dire '''ni non p ni non q'''
 
'''p ou q''' veut dire '''non(ni p ni q)'''
 
'''Si p alors q''' veut dire '''non(ni non p ni q)'''
 
'''p si et seulement si q''' veut dire '''ni (p et non q) ni (non p et q)'''
 
==Les raisonnements sans hypothèse et les lois logiques==
Toutes les règles de déduction, fondamentales ou dérivées, peuvent être traduites en lois logiques, parce que si C est une conséquence logique des prémisses P alors '''Si la conjonction des P alors C''' est une loi logique. Par exemple, '''Si A et si A alors B, alors B''' est une loi logique qui traduit la règle de détachement.
 
 
==La dérivation des conséquences logiques==
* (6) Conséquence : '''non p''' d'après (4),(5) et le principe du raisonnement par l'absurde.
Conséquence : '''si non q alors non p''' d'après (6) et la règle d'incorporation d'une hypothèse.
 
== L'interdéfinissabilité des connecteurs logiques ==
 
Les connecteurs logiques peuvent être définis les uns à partir des autres. Par exemple le quantificateur existentiel peut être défini à partir du quantificateur universel et de la négation :
 
'''Il existe un x tel que p''' veut dire qu''''il est faux que tout x est tel que non p''', autrement formulé, '''non(pour tout x non p)'''.
 
On peut aussi adopter la définition inverse :
 
'''Pour tout x, p''' veut dire qu''''il est faux qu'il existe un x tel que non p''', c'est à dire, '''non(il existe un x tel que non p)'''.
 
De même on peut définir la disjonction à partir de la conjonction, ou l'inverse :
 
'''p ou q''' veut dire '''non(non p et non q)'''
 
'''p et q''' veut dire '''non(non p ou non q)'''
 
Le conditionnel peut être défini à partir de la conjonction ou de la disjonction :
 
'''Si p alors q''' veut dire '''non(p et non q)'''
 
'''Si p alors q''' veut dire aussi '''q ou non p'''
 
Le biconditionnel '''si et seulement si''' peut être défini à partir du conditionnel et de la conjonction :
 
'''p si et seulement si q''' veut dire '''(si p alors q) et (si q alors p)'''
 
Il peut aussi être défini à partir des autres connecteurs :
 
'''p si et seulement si q''' veut dire '''(p et q) ou (non p et non q)'''
 
ou encore :
 
'''p si et seulement si q''' veut dire '''non( (p et non q) ou (non p et q) )'''
 
On pourrait aussi introduire le connecteur logique '''ni ni''' et définir tous les autres connecteurs à partir de lui :
 
'''non p''' veut dire '''ni p ni p'''
 
'''p et q''' veut dire '''ni non p ni non q'''
 
'''p ou q''' veut dire '''non(ni p ni q)'''
 
'''Si p alors q''' veut dire '''non(ni non p ni q)'''
 
'''p si et seulement si q''' veut dire '''ni (p et non q) ni (non p et q)'''
 
== Pourquoi les raisonnements nous permettent-ils d'acquérir du savoir ? ==
 
Si la règle de détachement était elle-même une hypothèse qu'on doit mentionner dans nos preuves, et à partir de laquelle on déduit nos conclusions, alors nos raisonnements ne pourraient jamais commencer, parce qu'il faudrait une seconde règle qui justifie les déductions à partir de la règle de détachement, puis une troisième qui justifie les déductions à partir de la seconde, et ainsi de suite à l'infini. Mais les lois logiques ne sont pas des hypothèses. On a toujours le droit de les adopter comme prémisses, sans autre justification sinon qu'elles sont des lois logiques, parce qu'elles ne peuvent pas être fausses, parce qu'elles ne peuvent pas nous conduire à l'erreur.
 
== Le savoir mathématique ==
 
Tout le savoir mathématique peut être considéré comme un savoir sur les mondes logiquement possibles.
 
Une théorie est cohérente, ou non-contradictoire, ou consistante, lorsque les contradictions '''p et non p''' ne sont pas des conséquences logiques de ses axiomes. Sinon elle est incohérente, contradictoire, inconsistante, absurde.
 
Une théorie vraie d'un monde logiquement possible est nécessairement cohérente, puisque les contradictions sont fausses dans tous les mondes logiquement possibles.
 
Une théorie cohérente est vraie d'au moins un monde logiquement possible. C'est le théorème de complétude de Gödel. Si on trouvait une théorie nécessairement fausse, c'est à dire fausse dans tous les mondes logiquement possibles, sans qu'on puisse prouver que ses axiomes conduisent à une contradiction, cela montrerait que notre logique est incomplète, qu'elle ne suffirait pas pour prouver toutes les vérités logiques nécessaires.
 
Nous développons le savoir mathématique en réfléchissant à nos propres paroles. Les mondes logiquement possibles sont définis par la parole, avec des ensembles d'énoncés atomiques. Connaître ces mondes revient à connaître les paroles qui les définissent. Les mondes mathématiques ne sont rien de plus que ce que nous définissons. Rien n'est caché, parce qu'ils sont notre œuvre. Nous pouvons tout savoir sur eux parce que nous déterminons ce qu'ils sont.
 
La vérité mathématique est-elle inventée ou découverte ?
 
Les deux, parce qu'inventer, c'est toujours découvrir une possibilité.
 
Quand nous inventons, nous modifions l'actuel mais nous ne modifions pas l'espace de tous les possibles. Ce qui est possible est possible quoique nous fassions. Nous agissons souvent pour rendre accessible ce qui auparavant était moins accessible, mais il ne s'agit jamais de rendre possible l'impossible, nous modifions seulement les possibilités relatives à notre situation actuelle. Quand nous rendons impossible le possible, il s'agit là encore de possibilités relatives. L'espace des possibilités absolues, qu'elles soient logiques ou naturelles, ne dépend pas de nous.
 
Il suffit d'expliquer comment nous raisonnons sur nos propres paroles pour montrer comment nous acquérons un savoir mathématique sur les structures finies, parce qu'elles sont définies avec des ensembles finis d'énoncés atomiques.
 
Le savoir sur les structures mathématiques infinies est plus difficile à comprendre. Elles sont définies avec des ensembles infinis d'énoncés atomiques. Nous connaissons ces ensembles infinis à partir de leur définition finie. Deux procédés sont fondamentaux pour définir les ensembles infinis :
 
* Les constructions par récurrence
 
On se donne des éléments initiaux et des règles qui permettent d'engendrer de nouveaux éléments à partir des éléments initiaux ou d'éléments déjà engendrés. Par exemple, on peut partir de l'unique élément initial '''1''' et se donner pour règle d'engendrer '''(x+y)''' à partir de '''x''' et '''y'''. L'ensemble infini est alors défini en disant que c'est l'unique ensemble qui contient tous les éléments initiaux et tous les éléments engendrés par un nombre fini d'applications des règles.
 
* La définition de l'ensemble de tous les sous-ensembles
 
Dès qu'un ensemble '''x''' est défini, l'axiome de l'ensemble des parties nous autorise à définir l'unique ensemble qui contient tous les ensembles inclus dans '''x'''.
 
Pour expliquer le savoir mathématique il faut expliquer comment nous sommes capables de raisonner correctement sur les ensembles infinis que nous définissons.
 
== La logique de l'identité ==
 
<div style="clear: left;"></div>
 
== Le savoir mathématique ==
 
Tout le savoir mathématique peut être considéré comme un savoir sur les mondes logiquement possibles.
 
Une théorie est cohérente, ou non-contradictoire, ou consistante, lorsque les contradictions '''p et non p''' ne sont pas des conséquences logiques de ses axiomes. Sinon elle est incohérente, contradictoire, inconsistante, absurde.
 
Une théorie vraie d'un monde logiquement possible est nécessairement cohérente, puisque les contradictions sont fausses dans tous les mondes logiquement possibles.
 
Une théorie cohérente est vraie d'au moins un monde logiquement possible. C'est le théorème de complétude de Gödel. Si on trouvait une théorie nécessairement fausse, c'est à dire fausse dans tous les mondes logiquement possibles, sans qu'on puisse prouver que ses axiomes conduisent à une contradiction, cela montrerait que notre logique est incomplète, qu'elle ne suffirait pas pour prouver toutes les vérités logiques nécessaires.
 
Nous développons le savoir mathématique en réfléchissant à nos propres paroles. Les mondes logiquement possibles sont définis par la parole, avec des ensembles d'énoncés atomiques. Connaître ces mondes revient à connaître les paroles qui les définissent. Les mondes mathématiques ne sont rien de plus que ce que nous définissons. Rien n'est caché, parce qu'ils sont notre œuvre. Nous pouvons tout savoir sur eux parce que nous déterminons ce qu'ils sont.
 
La vérité mathématique est-elle inventée ou découverte ?
 
Les deux, parce qu'inventer, c'est toujours découvrir une possibilité.
 
Quand nous inventons, nous modifions l'actuel mais nous ne modifions pas l'espace de tous les possibles. Ce qui est possible est possible quoique nous fassions. Nous agissons souvent pour rendre accessible ce qui auparavant était moins accessible, mais il ne s'agit jamais de rendre possible l'impossible, nous modifions seulement les possibilités relatives à notre situation actuelle. Quand nous rendons impossible le possible, il s'agit là encore de possibilités relatives. L'espace des possibilités absolues, qu'elles soient logiques ou naturelles, ne dépend pas de nous.
 
Il suffit d'expliquer comment nous raisonnons sur nos propres paroles pour montrer comment nous acquérons un savoir mathématique sur les structures finies, parce qu'elles sont définies avec des ensembles finis d'énoncés atomiques.
 
Le savoir sur les structures mathématiques infinies est plus difficile à comprendre. Elles sont définies avec des ensembles infinis d'énoncés atomiques. Nous connaissons ces ensembles infinis à partir de leur définition finie. Deux procédés sont fondamentaux pour définir les ensembles infinis :
 
* Les constructions par récurrence
 
On se donne des éléments initiaux et des règles qui permettent d'engendrer de nouveaux éléments à partir des éléments initiaux ou d'éléments déjà engendrés. Par exemple, on peut partir de l'unique élément initial '''1''' et se donner pour règle d'engendrer '''(x+y)''' à partir de '''x''' et '''y'''. L'ensemble infini est alors défini en disant que c'est l'unique ensemble qui contient tous les éléments initiaux et tous les éléments engendrés par un nombre fini d'applications des règles.
 
* La définition de l'ensemble de tous les sous-ensembles
 
Dès qu'un ensemble '''x''' est défini, l'axiome de l'ensemble des parties nous autorise à définir l'unique ensemble qui contient tous les ensembles inclus dans '''x'''.
 
Pour expliquer le savoir mathématique il faut expliquer comment nous sommes capables de raisonner correctement sur les ensembles infinis que nous définissons.
 
 
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