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On se donne un ensemble fondamental, l'ensemble vide, et un nombre fini de constructrices fondamentales. Une constructrice fondamentale détermine un ensemble construit à partir d'un ou plusieurs ensembles déjà construits. Toute succession, finie ou infinie, d'applications des constructrices fondamentales détermine un procédé de construction d'ensembles. On postule (axiome de constructibilité) que tous les ensembles peuvent être obtenus par un tel procédé de construction en partant de l'ensemble vide. De cette façon, on retrouve une théorie équivalente à celle de Gödel s'il avait admis l'axiome de constructibilité.
== Sait-on justifier la vérité mathématique ? ==
Pour justifier la vérité des théorèmes, il faut justifier la vérité des axiomes.
Les axiomes de ZFC sont-ils vrais ?
Par exemple, l'axiome de séparation de Zermelo : toute formule bien définie détermine une partie d'un ensemble qui contient tous les éléments pour lesquels elle est vraie.
Cet axiome est vrai par définition d'une formule bien définie : une formule est bien définie lorsque sa vérité, ou sa fausseté, est déterminée dans tous les cas où elle est appliquée.
Zermelo a formulé son axiome en se gardant bien de préciser quelles sont les formules bien définies, parce qu'il ne savait pas. Pour formaliser la théorie de Zermelo, Fraenkel l'a complétée avec le principe suivant, suggéré par Skolem : toutes les formules d'une théorie pure des ensembles, énoncées avec la logique du premier ordre, sont bien définies. Mais ce dernier principe est-il vrai ? On est en droit d'en douter parce que ces formules peuvent contenir des expressions telles que "pour tout ensemble" ou "il existe un ensemble". Or on ne sait pas déterminer précisément le concept d'ensemble. Qu'est-ce qui est un ensemble ? Qu'est-ce qui n'en est pas un ?
Comme on peut douter de la vérité de l'axiome de Zermelo tel qu'il a été formalisé par Fraenkel, on est en droit de douter de ZFC (Zermelo-Fraenkel plus l'axiome du choix). ZFC est la théorie standard utilisée par presque tous les mathématiciens pour fonder le savoir mathématique.
== L'homosexualité est naturelle ==
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