« Calcul écrit/Calcul de la racine quatrième d'un nombre » : différence entre les versions
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Voici, présentée sur un exemple, la manière de procéder qui n'est qu'une extension de celle couramment pratiquée pour la racine carrée d'un nombre et assez généralement connue.
La justification viendra ensuite.
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Les différentes étapes du calcul à effectuer sont les suivantes:
{| class="normale"
'''A)''' On commence par séparer le nombre 218889236736 en tranches de quatre chiffres comme ceci 2188.8923.6736, en partant de la virgule, vers la gauche et vers la droite, la tranche la plus à gauche pouvant donc contenir 1, 2, 3 ou 4 chiffres (ici 4).▼
! style="vertical-align: top;" | A
▲
|
<pre>2188 8923 6736</pre>
|-
! B
| On cherche la racine quatrième approchée à une unité près par défaut de la tranche la plus à gauche (ici 2188).
On place ce '''premier résultat partiel de la racine cherchée''' à l'endroit habituellement réservé pour le diviseur, puis on retranche sa quatrième puissance (6 fois 6 fois 6 fois 6 donc 1296) à la première tranche à gauche (2188 donc). Le résultat 892 ('''premier reste partiel''') s'inscrit à l'emplacement qui lui est réservé et tel qu'il apparaît dans l'exemple.
'''C)''' On "abaisse" la tranche "suivante" (8923 donc) à droite de ce '''premier reste partiel''' (892) de façon à former le nombre 8928923▼
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|-
'''D)''' Pour trouver le chiffre suivant du résultat, on cherche le quotient de la division entière du résultat précédent (8928923 donc) par le ''quadruple du cube du décuple du résultat partiel'' déjà obtenu de la racine, donc par 864000 (4 fois le cube de 60). Ce quotient est 10 (car 8928923 / 864000 = 10,33...) et il est trop fort a priori puisque l'on sait que le deuxième chiffre à trouver ne peut dépasser 9 et est un 8, le résultat annoncé précédemment étant 684. (Les calculs nécessaires pour prouver que 9 est trop fort, fourniraient le résultat 9707121 au lieu de 8421376 (voir ci-dessous le '''E)''') et ce résultat 9707121 conduirait à une soustraction impossible et ces calculs sont laissés aux lecteurs courageux).▼
! C
▲
|
|-
on ajoute :▼
! D
▲
le '''quadruple du cube du décuple du résultat partiel''' déjà obtenu de la racine (4 fois le cube de 60, soit 864000 déjà calculé)▼
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|-
le '''sextuple du produit du carré du décuple du résultat partiel par le chiffre 8 à essayer''' et obtenu en D) (6 fois le produit du carré de 60 par 8, soit 172800)▼
! E
▲| Cela fait, on ajoute :
le '''quadruple du produit du décuple du résultat partiel par le carré du chiffre 8 à essayer''' (4 fois le produit de 60 par le carré de 8, soit 15360)▼
▲
▲
puis on multiplie la somme (1052672) par le chiffre 8 à essayer, ce qui donne 8421376 que l'on retranche à gauche au nombre 8928923, ce qui conduit à inscrire au dessous le nombre 507547 ('''deuxième reste partiel'''). On place alors le chiffre 8 que l'on vient d'essayer et qui a conduit à une soustraction possible, à droite du chiffre 6 ('''premier résultat partiel de la racine cherchée''') ce qui donne le '''deuxième résultat partiel de la racine cherchée''', soit 68
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|-
! C (bis)
| On "abaisse" la tranche "suivante" (6736 donc) à droite de ce '''
| |- ! D (bis) | Pour trouver le chiffre suivant du résultat, on cherche le quotient de la division entière du résultat précédent (5075476736 donc) par le ''quadruple du cube du décuple du résultat partiel'' déjà obtenu de la racine, donc par 1257728000 (4 fois le cube de 680). Ce quotient est 4 (car 5075476736 / 1257728000 = 4,03 ...) et il convient comme le montre les calculs suivants : En effet : |
|-
! E (bis)
| Cela fait, on ajoute :
* le '''quadruple du cube du décuple du résultat partiel''' déjà obtenu de la racine (4 fois le cube de 680, soit 1257728000 déjà calculé)
▲
▲ '''le cube du chiffre 4 à essayer''' (le cube de 4, soit 64)
puis on multiplie la somme (1268869184) par le chiffre 4 à essayer, ce qui donne 5075476736 que l'on retranche à gauche au nombre 5075476736, ce qui conduit à inscrire au dessous le nombre 0 ('''deuxième reste partiel'''). On place alors le chiffre 4 que l'on vient d'essayer et qui a conduit à une soustraction possible, à droite du nombre 68 ('''deuxième résultat partiel de la racine cherchée''') ce qui donne le '''troisième résultat partiel de la racine cherchée''', soit 684 qui est d'ailleurs la racine quatrième exacte puisque le reste est égal à 0.
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