« Les suites et séries/Les séries de Riemann » : différence entre les versions
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==Les séries de Riemann (non-harmonique)==
Les séries de Riemann ne sont autre que les séries des suites de Riemann. Pour rappel, ces dernières sont des suites de la forme :
: <math>u_n = \frac{1}{n^r}</math>
Le coefficient r est appelé la raison de la suite, par analogie avec les suites géométriques. Elle peut être un nombre réel ou complexe et elle est souvent notée r pour un nombre réel et s pour un nombre complexe.
Les séries de Riemann sont notées <math>\zeta(r)</math> et sont de la forme suivante :
Les théorèmes que nous verrons dans le prochain chapitre nous disent que cette série converge ou diverge selon la valeur de sa raison :▼
: <math>\zeta(r) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^r}</math>
: La série harmonique est un cas particulier de série de Riemann pour laquelle r = 1.
▲Les théorèmes que nous verrons dans le prochain chapitre nous disent que cette série converge ou diverge selon la valeur de sa raison :
* une raison inférieure ou égale à 1 fait diverger la série ;
* une raison supérieure à 1 la fait converger.
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