« Les suites et séries/Les séries de Riemann » : différence entre les versions
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m Nous étudierons ces suites dans les chapitres sur les sommes partielles et les séries. |
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Ligne 135 :
Il se trouve que toutes ces séries ont un résultat de la forme suivante avec <math>a</math> un nombre rationnel (fractionnaire) :
: <math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^{
Par exemple, on a :
Ligne 146 :
|<math>\sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{8}} = \frac{\pi^8}{9450}</math>
|}
Une formule plus détaillée est la suivante :
: <math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^{2k}} = (-1)^{k+1} \times \frac{(2 \pi)^{2 p}}{2 \cdot (2k)!} \times B_{2k}</math>, avec <math>B_n</math> le énième nombre de Bernouilli (nous avions déjà introduit les nombres de Bernouilli dans le chapitre sur les sommes de puissance).
==Les séries liées aux nombres premiers==
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