« Les suites et séries/Les suites de puissances et la formule de Faulhaber » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Ligne 296 :
==Le cas général : la formule de Faulhaber==
Maintenant, étudions le cas général, mais sans recourir à une récursion.
: <math>1^k + 2^k + 3^k + 4^k + ... + n^k = \sum_{i=0}^{n} i^k</math>
Et pour cela, commençons par étudier quelques exemples.
===Une approche intuitive de la formule de Faulhaber===▼
: <math>\sum_{x = 1}^n x^0= n</math>
Ligne 314 ⟶ 310 :
: <math>\sum_{x = 1}^n x^6 = \frac{1}{7} n^7 + \frac{1}{2} n^6 + \frac{1}{2} n^5 + \frac{1}{6} n^3 + \frac{1}{42} n</math>
: <math>\sum_{i=0}^{n} i^k \approx \frac{n^{k + 1}}{k+1}</math>
On peut même aller plus loin en regardant le second terme, qui est toujours de la forme <math>n^k \over 2</math>. On a donc :
: <math>\sum_{i=0}^{n} i^k \approx \frac{n^{k + 1}}{k+1} + \frac{n^k}{2}</math>
Par contre, il ne semble pas y avoir de règle évidente pour les autres termes.
Maintenant, cherchons une formule non pas approchée, mais exacte.
▲===Une approche intuitive de la formule de Faulhaber===
Il existe une formule qui permet de calculer le cas général, appelée la '''formule de Faulhaber''', du nom de son découvreur. Pour comprendre comment elle a été découverte, étudions les premiers exemples. Nous allons supposer que les formules sont des polynomes de degré <math>k+1</math> et allons tenir compte des termes nuls.
: <math>\sum_{x = 1}^n x^0= n</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^1 = \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{2} n</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^2 = \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{6} n</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^3 = \frac{1}{4} n^4 + \frac{1}{2} n^3 + \frac{1}{4} n^2 + 0 \cdot n</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^4 = \frac{1}{5} n^5 + \frac{1}{2} n^4 + \frac{1}{3} n^3 + 0 \cdot n^2 + \frac{1}{30} n</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^5 = \frac{1}{6} n^6 + \frac{1}{2} n^5 + \frac{5}{12} n^4 + 0 \cdot n^3 + \frac{1}{12} n^2 + 0 \cdot n</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^6 = \frac{1}{7} n^7 + \frac{1}{2} n^6 + \frac{1}{2} n^5 + 0 \cdot n^4 + \frac{1}{6} n^3 + 0 \cdot n^2 + \frac{1}{42} n</math>
Le premier terme est égal à <math>n^{k + 1} \over k+1</math>. En factorisant <math>k+1</math>, on obtient :
: <math>\sum_{x = 1}^n x^0 = \frac{1}{1} \left[ n \right]</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^1 = \frac{1}{2} \left[ n^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot n \right]</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^2 = \frac{1}{3} \left[ n^3 + 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot n^2 + 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot n \right]</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^3 = \frac{1}{4} \left[ n^4 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot n^3 + 6 \cdot \frac{1}{6} \cdot n^2 + 0 \cdot n \right]</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^4 = \frac{1}{5} \left[ n^5 + 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot n^4 + 10 \cdot \frac{1}{6} \cdot n^3 + 5 \cdot \frac{1}{30} \cdot n^2 + 0 \cdot n \right]</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^5 = \frac{1}{6} \left[ n^6 + 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot n^5 + 15 \cdot \frac{5}{6} \cdot n^4 + 0 \cdot n^3 + 15 \cdot \frac{1}{30} \cdot n^2 + 0 \cdot n \right]</math>
: <math>\sum_{x = 1}^n x^6 = \frac{1}{7} \left[ n^7 + 7 \cdot \frac{1}{2} \cdot n^6 + 21 \cdot \frac{1}{6} \cdot n^5 + 0 \cdot n^4 + 0 \cdot n^3 + 35 \cdot \frac{1}{30} \cdot n^2 + 7 \cdot \frac{1}{42} \cdot n \right]</math>
[[File:PascalFibonacci.svg|vignette|Triangle de Pascal.]]
| |||