« Fonctionnement d'un ordinateur/Les circuits combinatoires » : différence entre les versions
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* la double négation et les lois de de Morgan ;
* les autres règles, appelées règles bit à bit.
====L'associativité, la distributivité et la commutativité des opérateurs logiques====
L'associativité, la commutativité et la distributivité ressemblent beaucoup aux règles arithmétiques usuelles, ce qui fait qu'on ne les détaillera pas ici.
{|class="wikitable"
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|}
{|class="wikitable"▼
|+ Règles sur les négations▼
|-▼
! Double négation▼
| <math>\overline{\overline{a}}=a</math> </br>▼
|-▼
!Loi de De Morgan▼
|▼
<math>\overline{a}+\overline{b}=\overline{a.b}</math> </br>▼
<math>\overline{a}.\overline{b}=\overline{a+b}</math>▼
|}▼
{|class="wikitable"▼
|+ Règles bit à bit▼
|-▼
!Idempotence▼
|▼
<math>a.a=a</math> </br>▼
<math>a+a=a</math>▼
|-▼
!Élément nul▼
|▼
<math>a.0=0</math> </br>▼
<math>a+1=1</math>▼
|-▼
!Élément Neutre▼
|▼
<math>a.1=a</math> </br>▼
<math>a+0=a</math> </br>▼
<math>a \oplus 0=a</math>▼
|-▼
!Complémentarité▼
|▼
<math>a \oplus 1=\overline{a}</math> </br>▼
<math>a+\overline{a}=1</math> </br>▼
<math>a\oplus \overline{a}=1</math> </br>▼
<math>a \oplus a=0</math> </br>▼
<math>a.\overline{a}=0</math>▼
|}▼
====Les règles de type bit à bit====
* soit on fait un ET/OU/XOR entre un bit et lui-même ;
* soit on fait un ET/OU/XOR entre un bit et son inverse ;
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: <math>a + 0 = a</math>
: <math>a \oplus 0 = a</math>.
Voici la liste de ces règles, classées par leur nom mathématique :
▲{|class="wikitable"
▲|+ Règles bit à bit
▲|-
▲!Idempotence
▲|
▲<math>a.a=a</math> </br>
▲<math>a+a=a</math>
▲|-
▲!Élément nul
▲|
▲<math>a.0=0</math> </br>
▲<math>a+1=1</math>
▲|-
▲!Élément Neutre
▲|
▲<math>a.1=a</math> </br>
▲<math>a+0=a</math> </br>
▲<math>a \oplus 0=a</math>
▲|-
▲!Complémentarité
▲|
▲<math>a \oplus 1=\overline{a}</math> </br>
▲<math>a+\overline{a}=1</math> </br>
▲<math>a\oplus \overline{a}=1</math> </br>
▲<math>a \oplus a=0</math> </br>
▲<math>a.\overline{a}=0</math>
▲|}
Ces relations permettent de simplifier des équations logiques, mais peuvent avoir des utilisations totalement différentes.
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====Les lois de de Morgan et la double négation====
Parmi les règles précédentes, les lois de de Morgan et la double négation sont de loin les plus importantes à retenir. Elles sont les seules à impliquer les négations
{|class="wikitable"
▲|+ Règles sur les négations
|+ Illustration des lois de De Morgan▼
|-
▲! Double négation
!<math>\overline{a}.\overline{b}=\overline{a+b}</math>▼
▲| <math>\overline{\overline{a}}=a</math> </br>
|[[File:1. Theorem.svg|1. Theorem.svg]]▼
|-
▲!Loi de De Morgan
!<math>\overline{a}+\overline{b}=\overline{a.b}</math>▼
▲|
|[[File:2. Theorem.svg|2. Theorem.svg]]▼
▲<math>\overline{a}+\overline{b}=\overline{a.b}</math> </br>
▲<math>\overline{a}.\overline{b}=\overline{a+b}</math>
|}
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[[File:Porte OU fabriquée avec des portes NON et ET.png|centre|vignette|upright=2|Porte OU fabriquée avec des portes NON et ET]]
Les règles de Morgan pour deux entrées sont résumées dans le tableau ci-dessous.
▲{|class="wikitable"
▲|+ Illustration des lois de De Morgan
▲|-
▲!<math>\overline{a}.\overline{b}=\overline{a+b}</math>
▲|[[File:1. Theorem.svg|1. Theorem.svg]]
▲|-
▲!<math>\overline{a}+\overline{b}=\overline{a.b}</math>
▲|[[File:2. Theorem.svg|2. Theorem.svg]]
▲|}
Les lois de de Morgan peut se généraliser pour plus de deux entrées.
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