« Fonctionnement d'un ordinateur/Les circuits combinatoires » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
Ligne 579 :
: NXOR : <math>\overline{a \oplus b} = ( a . b ) + ( \overline{a} . \overline{b} )</math>
 
La formule obtenue avec les minterms pour la porte XOR donne ce circuit :
[[File:XOR3.png|centre|vignette|upright=3.0|Illustration de la définition du XOR. On voit que le XOR peut se construire, en appliquant sa définition, à partir de quelques portes ET, ou et NON.]]
 
[[File:XOR3.png|centre|vignette|upright=3.0|Porte XOR fabriquée à partir de portes ET/OU/NON.]]
Il est possible d'obtenir une formule équivalente pour la porte NXOR, en utilisant l’algèbre de Boole sur les formules précédentes. Partons de l’équation précédente :
 
La formule obtenue avec les minterms pour la porte NXOR donne ce circuit :
: <math>a \oplus b = ( \overline{a} . b ) + ( a . \overline{b} )</math>
 
[[File:3 gate XNOR.svg|centre|vignette|upright=1|Porte NXOR fabriquée à partir de portes ET/OU/NON, alternative.]]
Une porte NXOR est, par définition, l'inverse d'une porte XOR. En appliquant un NON sur l'équation précédente, on trouve donc :
 
Il est possible d'obtenir une formule équivalente pour la porte NXORXOR, en utilisant l’algèbre de Boole sur les formules précédentes. PartonsPour cela, partons de l’équationl'équation de la porte NXOR obtenue avec la méthode des précédenteminterms :
: <math>\overline{a \oplus b} = \overline{(\overline{a} . b) + (a . \overline{b})}</math>
 
On applique la loi de de Morgan pour le OU entre les parenthèses :
 
: <math>\overline{a \oplus b} = (\overline{\overline{a} . b}) . (\overline{a . \overline{b}})</math>
 
On applique la loi de de Morgan, mais cette fois-ci à l'intérieur des parenthèses :
 
: <math>\overline{a \oplus b} = (\overline{\overline{a}} + \overline{b}) . (\overline{a} . \overline{\overline{b}})</math>
 
On simplifie les doubles inversions :
 
: <math>\overline{a \oplus b} = (a + \overline{b}) . (\overline{a} + b)</math>
 
La formule est similaire à celle d'un XOR, la seule différence étant qu'il faut inverser de place les ET et les OU : le ET est dans les parenthèses pour le XOR et entre pour le NXOR, et inversement pour le OU.
 
Il est possible de faire la même chose, mais pour la porte XOR. Pour cela, partons de l'équation de la porte NXOR obtenue avec la méthode des minterms :
 
: <math>\overline{a \oplus b} = ( a . b ) + ( \overline{a} . \overline{b} )</math>
Ligne 624 ⟶ 608 :
 
[[File:3 gate XOR.svg|centre|vignette|upright=1|Porte XOR obtenue avec la méthode des maxterms.]]
 
Il est possible de faire la même chose, mais pour la porte XORNXOR. Pour cela, partons de l'équation de la porte NXORXOR obtenue avec la méthode des minterms :
 
: <math>a \oplus b = ( \overline{a} . b ) + ( a . \overline{b} )</math>
 
Une porte NXOR est, par définition, l'inverse d'une porte XOR. En appliquant un NON sur l'équation précédente, on trouve donc :
 
: <math>\overline{a \oplus b} = \overline{(\overline{a} . b) + (a . \overline{b})}</math>
 
On applique la loi de de Morgan pour le OU entre les parenthèses :
 
: <math>\overline{a \oplus b} = (\overline{\overline{a} . b}) . (\overline{a . \overline{b}})</math>
 
On applique la loi de de Morgan, mais cette fois-ci à l'intérieur des parenthèses :
 
: <math>\overline{a \oplus b} = (\overline{\overline{a}} + \overline{b}) . (\overline{a} . \overline{\overline{b}})</math>
 
On simplifie les doubles inversions :
 
: <math>\overline{a \oplus b} = (a + \overline{b}) . (\overline{a} + b)</math>
 
La formule est similaire à celle d'un XOR, la seule différence étant qu'il faut inverser de place les ET et les OU : le ET est dans les parenthèses pour le XOR et entre pour le NXOR, et inversement pour le OU.
 
Dans les deux exemples précédents, on voit que l'on a pu passer d'une forme normale conjonctive à une forme normale disjonctive et réciproquement, en utilisant la loi de de Morgan. C'est un principe assez général qui se retrouve souvent dans les démonstrations d'équations logiques.