« Fonctionnement d'un ordinateur/Les circuits combinatoires » : différence entre les versions
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Ligne 579 :
: NXOR : <math>\overline{a \oplus b} = ( a . b ) + ( \overline{a} . \overline{b} )</math>
La formule obtenue avec les minterms pour la porte XOR donne ce circuit :
[[File:XOR3.png|centre|vignette|upright=3.0|Porte XOR fabriquée à partir de portes ET/OU/NON.]]
Il est possible d'obtenir une formule équivalente pour la porte NXOR, en utilisant l’algèbre de Boole sur les formules précédentes. Partons de l’équation précédente :▼
La formule obtenue avec les minterms pour la porte NXOR donne ce circuit :
: <math>a \oplus b = ( \overline{a} . b ) + ( a . \overline{b} )</math>▼
[[File:3 gate XNOR.svg|centre|vignette|upright=1|Porte NXOR fabriquée à partir de portes ET/OU/NON, alternative.]]
Une porte NXOR est, par définition, l'inverse d'une porte XOR. En appliquant un NON sur l'équation précédente, on trouve donc :▼
▲Il est possible d'obtenir une formule équivalente pour la porte
: <math>\overline{a \oplus b} = \overline{(\overline{a} . b) + (a . \overline{b})}</math>▼
On applique la loi de de Morgan pour le OU entre les parenthèses :▼
: <math>\overline{a \oplus b} = (\overline{\overline{a} . b}) . (\overline{a . \overline{b}})</math>▼
On applique la loi de de Morgan, mais cette fois-ci à l'intérieur des parenthèses :▼
: <math>\overline{a \oplus b} = (\overline{\overline{a}} + \overline{b}) . (\overline{a} . \overline{\overline{b}})</math>▼
On simplifie les doubles inversions :▼
: <math>\overline{a \oplus b} = (a + \overline{b}) . (\overline{a} + b)</math>▼
La formule est similaire à celle d'un XOR, la seule différence étant qu'il faut inverser de place les ET et les OU : le ET est dans les parenthèses pour le XOR et entre pour le NXOR, et inversement pour le OU.▼
Il est possible de faire la même chose, mais pour la porte XOR. Pour cela, partons de l'équation de la porte NXOR obtenue avec la méthode des minterms :▼
: <math>\overline{a \oplus b} = ( a . b ) + ( \overline{a} . \overline{b} )</math>
Ligne 624 ⟶ 608 :
[[File:3 gate XOR.svg|centre|vignette|upright=1|Porte XOR obtenue avec la méthode des maxterms.]]
▲Il est possible de faire la même chose, mais pour la porte
▲: <math>a \oplus b = ( \overline{a} . b ) + ( a . \overline{b} )</math>
▲Une porte NXOR est, par définition, l'inverse d'une porte XOR. En appliquant un NON sur l'équation précédente, on trouve donc :
▲: <math>\overline{a \oplus b} = \overline{(\overline{a} . b) + (a . \overline{b})}</math>
▲On applique la loi de de Morgan pour le OU entre les parenthèses :
▲: <math>\overline{a \oplus b} = (\overline{\overline{a} . b}) . (\overline{a . \overline{b}})</math>
▲On applique la loi de de Morgan, mais cette fois-ci à l'intérieur des parenthèses :
▲: <math>\overline{a \oplus b} = (\overline{\overline{a}} + \overline{b}) . (\overline{a} . \overline{\overline{b}})</math>
▲On simplifie les doubles inversions :
▲: <math>\overline{a \oplus b} = (a + \overline{b}) . (\overline{a} + b)</math>
▲La formule est similaire à celle d'un XOR, la seule différence étant qu'il faut inverser de place les ET et les OU : le ET est dans les parenthèses pour le XOR et entre pour le NXOR, et inversement pour le OU.
Dans les deux exemples précédents, on voit que l'on a pu passer d'une forme normale conjonctive à une forme normale disjonctive et réciproquement, en utilisant la loi de de Morgan. C'est un principe assez général qui se retrouve souvent dans les démonstrations d'équations logiques.
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