« Approfondissements de lycée/Démonstrations » : différence entre les versions

=== Irrationalité de √2 ===
Comme exemple, nous démontrerons l'irrationalité de <math>\sqrt{2}</math>, i.e. <math>\sqrt{2}</math> n'est pas un nombre rationnel. Rappelons-nous qu'un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé sous la forme <math>\frac{p}{q}</math>, où p et q sont des nombres entiers et q est différent de 0 (voir la section [[Approfondissements de lycée/Nombres complexes|Catégories de nombres]]).
1 er methode
 
Tout d'abord, supposons que <math>\sqrt{2}</math> est ''rationnel'' :<br />
:<math>
 
Nous avons découvert que ''b<sup>2</sup>'' est aussi un entier multiplié par 2. En suivant le raisonnement précédent, ''b'' doit être un entier pair. Ici, nous avons une contradiction: les deux nombres entiers ''a'' et ''b'' sont pairs. En d'autres termes, nous venons de démontrer que ces deux nombres ont un facteur commun: 2. Mais nous avons déjà supposé que ces deux nombres n'avaient pas de facteur commun! Puisqu'une telle contradiction a été établie, nous '''devons''' conclure que notre supposition d'origine était fausse. Par conséquent, on ne peut trouver deux entiers ''a'' et ''b'' premiers entre eux tels qu'on puisse écrire <math>\sqrt{2}</math> sour la forme <math>\frac{a}{b}</math>, c'est-à-dire que <math>\sqrt{2}</math> est irrationel.
2 eme methode : voir si dessous
s
 
=== Infinité de nombres premiers ===
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