« Cosmologie/L'hypothèse de l'inflation » : différence entre les versions
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Ligne 30 :
: <math>H(t)^2 = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \left( \rho_{inflaton} + \rho_\Lambda - \frac{\rho_k0}{a(t)^2} + \frac{\rho_m0}{a(t)^3} + \frac{\rho_r0}{a(t)^4} \right)</math>
Il suffit juste que <math>\rho_{inflaton}</math> augmente pendant la phase d'inflation avant de se réduire à peu de chagrin ensuite et le tour est joué. Reste à inventer le mécanisme d'inflation qui se cache derrière <math>\rho_{inflaton}</math>. Et là, les théories sont assez nombreuses ! Il faut dire que n'importe quelle fonction mathématique ''ad hoc'' peut fonctionner tant qu'elle a quelques propriétés mathématiques peu contraignantes. La majorité des tentatives se basent sur la présence de ce qu'on appelle un '''champ scalaire'''. Un champ scalaire est quelque chose qui attribue un nombre à tout point dans l'espace à chaque instant, appelé le potentiel, noté <math>\phi</math>. De plus, ce champ a une densité d'énergie en chaque point de l'espace, qui dépend du potentiel : celle-ci sera notée <math>V(\phi)</math>. Si on suppose que le champ a la même valeur en tout point, les équations nous
* et la pression sera de <math>\frac{1}{2} {\dot{\phi}}^2 - V(\phi)</math>. ▼
: <math>\rho_{\phi} = \frac{1}{2} {\dot{\phi}}^2 + V(\phi)</math>, avec <math>\dot{\phi} = \frac{d \phi}{dt}</math>.
La pression est de :
: <math>{\phi}' - {V(\phi)}' + 3 H V(\phi) = 0</math>▼
: <math>
Injectons ces équations dans les équations de Friedmann, ce qui donne :
Le facteur de Hubble calculé dépend du potentiel. N'importe quel champ scalaire peut déclencher une inflation à condition que <math>\dot{\phi} << V(\phi))</math>, souvent complémentée avec <math>\ddot{\phi} << V(\phi))</math> : dans ces conditions, le champ se comporte comme une constante cosmologique de pression négative. Mais si le potentiel a une valeur nulle, il ne cause aucune expansion : on peut alors modéliser l'inflation en supposant que <math>V(\phi)</math> diminue avec le temps, l'inflation s’arrêtant quand le champ est nul. Tout champ qui respecte ces conditions peut déclencher une inflation, ce qui laisse beaucoup de possibilités. Le champ lié au boson de Higgs est une solution possible, par exemple.▼
: <math>H^2 = \frac{8 \pi G}{3} \left( \frac{1}{2} {{\phi}'}^2 + V(\phi) \right)</math>
: <math>\frac{a''}{a} = - \frac{4 \pi G}{3} \left[ \left( \frac{1}{2} {\dot{\phi}}^2 + V(\phi) \right) + 3 \left( \frac{1}{2} {\dot{\phi}}^2 - V(\phi) \right) \right]</math>
: <math>\frac{d}{dt} \left( {\dot{\phi}}^2 + V(\phi) \right) + 3 H \left[ \left( \frac{1}{2} {\dot{\phi}}^2 + V(\phi) \right) + \left( \frac{1}{2} {\dot{\phi}}^2 - V(\phi) \right) \right]= 0</math>
Maintenant, négligeons le terme <math>\frac{1}{2} {\dot{\phi}}^2</math>, supposé bien plus petit que le potentiel <math>V(\phi)</math>. Les équations précédentes deviennent, sans simplifications :
: <math>H^2 = \frac{8 \pi G}{3} V(\phi)</math>
: <math>\frac{a''}{a} = - \frac{4 \pi G}{3} \left[ V(\phi) -3 V(\phi) \right]</math>
: <math>\frac{d}{dt} V(\phi) + 3 H \left[ V(\phi) - V(\phi) \right] = 0</math>
En simplifiant, on trouve :
: <math>H^2 = \frac{8 \pi G}{3} V(\phi)</math>
Les équations précédentes nous disent : que l'univers est en expansion pour la première équation, que cette expansion est accélérée pour la seconde, et que le potentiel reste constant malgré l'expansion pour l'équation du fluide. es trois propriétés sont ce qu'on attend d'un univers dominé par une constante cosmologique, ou par de l'énergie noire de pression négative. Pour résumer, on obtient bien une expansion accélérée dans le cas où <math>\dot{\phi} << V(\phi))</math>, hypothèse souvent complémentée avec <math>\ddot{\phi} << V(\phi))</math>.
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