« Approfondissements de lycée/Dénombrement et séries de puissances » : différence entre les versions

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mais qu'est-ce que <math>t_k\,</math> ? Tant que vous n'avez pas appris l'analyse, il est difficile de déduire une formule simplement en regardant l'équation de T(z). Sans supposer de connaissance en analyse, nous considérons le problème de dénombrement suivant.
 
"Vous avez trois soeurssœurs, et n (n ≥ 3) poupées. Vous décidez de donner à chacune de vos soeurssœurs au moins une poupée. De combien de manières pouvez-vous le faire ?"
 
Une manière de résoudre le problème est d'aligner toutes les poupées sur la table. Puisqu'il y a ''n'' poupées, il y a (''n'' - 1) espaces entre elles (comme vous avez 5 doigts sur chaque mains et 4 espaces entre eux). Maintenant, à partir des (''n'' - 1) espaces disponibles, ''choisir'' 2 et mettre un diviseur dans chaque espace que vous avez choisi ! Alors, vous avez divisé les ''n'' poupées en trois parts, une pour chaque soeursœur. Il y a <math> n - 1 \choose 2 </math> manière de le faire ! Si vous avez 4 soeurssœurs, alors il y a <math> n - 1 \choose 3 </math> manières de le faire. Si vous avez m soeurssœurs, il y a <math> n - 1 \choose m - 1</math> manières de le faire.
 
Maintenant, considérons ; "Vous avez trois soeurssœurs, et vous avez n poupées. Vous décidez de donner à chacune d'elles une certaine quantité de poupées (sans restriction sur la quantité donnée à chaque soeursœur). De combien de manières peut-on le faire ?"
 
Notons que nous venons de résoudre :
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où a<sub>i</sub> ≥ 0; i = 1, 2, 3.
 
Vous pouvez résoudre le problème en alignant n + 3 poupées sur la table. Prenons deux diviseurs et ''choisissons'' 2 espaces à partir des n + 2 espaces disponibles. Maintenant que vous avez divisé n + 3 poupées en 3 parts, dont chaque part a 1 ou plus de poupées. Maintenant, reprenons 1 poupée de chaque part, et vous avez résolu le problème ! Donc, le nombre de solutions est <math> n + 2 \choose 2\,</math>. Plus généralement, si vous avez m soeurssœurs et n poupées, le nombre de manières pour partager les poupées est
:<math> {{n + m - 1} \choose {m - 1}} = {{n + m - 1} \choose {n}} </math> .
 
Un petit conseil, si vous avez des soeurssœurs, donnez-leur une quantité égale de poupées, parcequparce qu'elles sont toutes adorables.
 
Maintenant, comme discuté ci-dessus, le nombre de solutions de