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'''1 + 2 + 3 + 4 + ⋯''', la '''[[w:SérieLes (mathématiques)suites et séries|série]] des [[w:entier naturel|entiers strictement positifs]]''' pris dans l'ordre croissant, est en [[w:Analyse (mathématiques)|analyse]] une [[w:série divergente|série divergente]].
 
La ''n''-ième [[w:SérieLes (mathématiques)suites et séries/Les sommes partielles|somme partielle de cette série]] est le [[w:nombre triangulaire|nombre triangulaire]] :
:<math>\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}</math>.
 
La [[w:Suite (mathématiques)|suite]] de ces sommes partielles est [[w:SuiteLes monotonesuites et séries/Les limites de suites#La convergence/divergence d'une suite|croissante]] et [[w:Suite bornée|non majorée]] donc [[w:Théorème de la limite monotone|tend vers l'infini]].
 
Bien que cette série ne possède donc ''a priori'' pas de valeur significative, elle peut être manipulée pour produire un certain nombre de résultats mathématiquement intéressants, dont certains ont des applications dans d'autres domaines, comme l'[[w:analyse complexe|analyse complexe]], la [[w:théorie quantique des champs|théorie quantique des champs]], la [[w:théorie des cordes|théorie des cordes]] ou encore l'[[w:effet Casimir|effet Casimir]].
 
== Définition ==
La série a pour terme général {{mvar|n}}. Sa ''n''-ième somme partielle est donc le [[w:nombre triangulaire|nombre triangulaire]] {{math|''S{{ind|n}}'' {{=}} 1 + 2 + … + ''n''}}, [[w:SommeLes (arithmétique)#Sommesuites deset premiersséries/La suite des entiers et les nombres polygonaux|égal à {{math|''n''(''n'' + 1)/2}}]]. La suite {{math|(''S{{ind|n}}'')}} [[w:Limite d'une suite|tend vers]] l'[[w:infini|infini]] : la série n'est donc pas [[w:SérieLes convergentesuites et séries/Les limites de suites#La convergence/divergence d'une suite|convergente]]. Elle ne possède donc pas de somme au sens usuel du terme. Elle n'est pas non plus [[w:Sommation de Cesàro|sommable au sens de Cesàro]].
 
À la différence de son homologue la [[w:série alternée des entiers|série alternée des entiers]] {{math|1 – 2 + 3 – 4 + …}}, la série {{math|1 + 2 + 3 + 4 + …}} n'est pas [[w:Série divergente#Sommation d'Abel|sommable au sens d'Abel]] et des méthodes plus avancées sont nécessaires pour lui attribuer la valeur {{math|–1/12}}{{sfn|Hardy|1949|p=333}}{{infra|Sommabilité}}.
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== Sommabilité ==
 
===[[w:Heuristique (mathématiques)|Heuristique]]===
 
==== Cahier de Ramanujan ====
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