« Cosmologie/Le destin de l'univers » : différence entre les versions

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Ligne 66 :
 
: <math>\left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) + a^2 \frac{\Lambda c^2}{3} - k \cdot c^2</math>
 
On prend alors la limite quand t tend vers l'infini :
 
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = \lim_{t \rightarrow \infty} \left[ \frac{8 \pi G}{3 c^2} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) + a^2 \frac{\Lambda c^2}{3} - k \cdot c^2 \right] = 0</math>
 
En sortant les termes indépendants de t de la limite, on a :
 
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) \right] + \frac{\Lambda c^2}{3} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} a^2 \right] - k \cdot c^2 > 0</math>
 
===Le cas du ''big crunch''===
Ligne 75 ⟶ 83 :
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \left(\frac{d a}{d t}\right)^2 < 0</math>
 
On combine avec l'équation de la section précédente, ce qui donne :
En combinant les deux équations précédentes, on trouve :
 
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \left[ \frac{8 \pi G}{3 c^2} \left( \frac{\rho_m0}{a(t)} + \frac{\rho_r0}{a(t)^2} \right) + a(t)^2 \frac{\Lambda c^2}{3} - k \cdot c^2 \right] < 0</math>
 
Les règles des inégalités nous permettent de réécrire l'inégalité précédente comme suit :
 
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \left[ \frac{8 \pi G}{3 c^2} \left( \frac{\rho_m0}{a(t)} + \frac{\rho_r0}{a(t)^2} \right) + a(t)^2 \frac{\Lambda c^2}{3} \right] < k \cdot c^2</math>
 
On sort les termes indépendants du temps :
 
: <math>\frac{8 \pi G}{3 c^2} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} \left( \frac{\rho_m0}{a(t)} + \frac{\rho_r0}{a(t)^2} \right) \right] + \frac{\Lambda c^2}{3} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} a(t)^2 \right] < k \cdot c^2</math>
Ligne 101 :
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{d a}{d t} > 0</math>.
 
On part de l'équation des sections précédentes :
En injectant l'équation de Friedmann dans la seconde inégalité, on a :
 
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \left[frac{d a}{d t}^2 = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) \right] + a^2 \frac{\Lambda c^2}{3} -\left[ k\lim_{t \cdotrightarrow c\infty} a^2 \right] >- 0k \cdot c^2</math>
 
EnOn combinantcombine les deux équations précédentes, on trouve :
En sortant les termes indépendants de t de la limite, on a :
 
: <math>\frac{8 \pi G}{3 c^2} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) \right] + \frac{\Lambda c^2}{3} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} a^2 \right] - k \cdot c^2 > 0</math>
 
On réorganise :
 
: <math>\frac{8 \pi G}{3 c^2} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) \right] + \frac{\Lambda c^2}{3} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} a^2 \right] > k \cdot c^2</math>
Ligne 137 ⟶ 133 :
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{d a}{d t} = 0</math>.
 
On part de l'équation des sections précédentes :
On a alors :
 
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \left( \frac{d a}{d t}^2 = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) \right] + \frac{\Lambda c^2}{3} =\left[ 0\lim_{t \rightarrow \infty} a^2 \right] - k \cdot c^2</math>
 
On combine les deux équations précédentes :
Ce qui donne :
 
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \left[ \frac{8 \pi G}{3 c^2} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) + a^2 \frac{\Lambda c^2}{3} - k \cdot c^2 \right] = 0</math>
 
En sortant les termes indépendants de t de la limite, on a :
 
: <math>\frac{8 \pi G}{3 c^2} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) \right] + \frac{\Lambda c^2}{3} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} a^2 \right] - k \cdot c^2 = 0</math>