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===Le cas du ''big chill''===
Dans le cas du ''big chill'', la dérivée dule facteur d'échelle tend vers l'infini et sa dérivée tend vers zéro :
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} a(t) = \infty</math>. ▼
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{d a}{d t} = 0</math>.
: <math>\frac{8 \pi G}{3 c^2} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) \right] + \frac{\Lambda c^2}{3} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} a^2 \right] = k \cdot c^2</math>
ÉtudionsOn d'abordajoute lealors casla oùcontrainte <math>\lim_{t \rightarrow \infty} a(t) = \infty</math>. Dans ce cas, on a <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) = 0</math> et <math>\lim_{t \rightarrow \infty} a^2 = \infty</math>. On a alors : ▼On peut alors étudier deux cas :
* soit le facteur d'échelle ne tend pas vers l'infini :
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} a(t) \neq \infty</math>.
* soit le facteur d'échelle tend vers l'infini :
▲: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} a(t) = \infty</math>.
▲Étudions d'abord le cas où <math>\lim_{t \rightarrow \infty} a(t) = \infty</math>. Dans ce cas, on a <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) = 0</math> et <math>\lim_{t \rightarrow \infty} a^2 = \infty</math>. On a alors :
: <math>\frac{\Lambda c^2}{3} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} a^2 \right] = k \cdot c^2</math>
Ce qui n'est possible que si la constante cosmologique est nulle, idem pour la courbure. Un univers en ''big chill'' ne peut atteindre un volume infini que si sa courbure et sa constante cosmologique sont toutes des deux nulles, en présence de matière et/ou de rayonnement.
Voyons maintenant le cas où <math>\lim_{t \rightarrow \infty} a(t) \neq \infty</math>. Dans ces conditions, <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) \neq 0</math> et il en est de même pour l'autre limite. Dit en langage courant, la densité de matière et de rayonnement ne peuvent pas s'annuler. La dilution par l'expansion ne peut pas dépasser une certaine limite. Dans ces conditions, on trouve que les deux limites sont des nombres positifs non-nuls. On a alors :
: <math>0 < k \cdot c^2</math>
Dit autrement, un univers en situation de ''big chill'' implique que la courbure est positive. Cette courbure positive ralenti l'expansion de l'univers et la stabilise. Sans courbure positive, il n'y a pas de force de freinage qui limite l'expansion sans pour autant causer de ''big chill''. La courbure positive sert donc à compenser l'effet de la gravité, de la présence de matière et de rayonnement.
Pour résumer, le ''big chill'' n'a lieu qu'en absence de constante cosmologique et avec une courbure non-négative (nulle ou positive), en présence de matière et/ou de rayonnement.
===Résumé===
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