« Cosmologie/Le destin de l'univers » : différence entre les versions

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===Le cas du ''big chill''===
 
Dans le cas du ''big chill'', lela dérivée du facteur d'échelle ne tend pas vers l'infini et sa dérivée tend vers zéro :
 
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} a(t) \neq \infty</math>.
 
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{d a}{d t} = 0</math>.
Ligne 144 ⟶ 142 :
: <math>\frac{8 \pi G}{3 c^2} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) \right] + \frac{\Lambda c^2}{3} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} a^2 \right] = k \cdot c^2</math>
 
On peut alors étudier deux cas :
Maintenant, on doit ajouter la contrainte qui veut que <math>\lim_{t \rightarrow \infty} a(t) \neq \infty</math>. Dans ces conditions, <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) \neq 0</math> et il en est de même pour l'autre limite. Dit en langage courant, la densité de matière et de rayonnement ne peuvent pas s'annuler. La dilution par l'expansion ne peut pas dépasser une certaine limite. Dans ces conditions, on trouve que les deux limites sont des nombres positifs non-nuls. On a alors :
 
* soit le facteur d'échelle ne tend pas vers l'infini :
 
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} a(t) \neq \infty</math>.
 
* soit le facteur d'échelle tend vers l'infini :
 
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} a(t) = \infty</math>.
 
Étudions d'abord le cas où <math>\lim_{t \rightarrow \infty} a(t) = \infty</math>. Dans ce cas, on a <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) = 0</math> et <math>\lim_{t \rightarrow \infty} a^2 = \infty</math>. On a alors :
 
: <math>\frac{\Lambda c^2}{3} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} a^2 \right] = k \cdot c^2</math>
 
Ce qui n'est possible que si la constante cosmologique est nulle, idem pour la courbure. Un univers en ''big chill'' ne peut atteindre un volume infini que si sa courbure et sa constante cosmologique sont toutes des deux nulles, en présence de matière et/ou de rayonnement.
 
Maintenant,Voyons onmaintenant doitle ajoutercas la contrainte qui veut que <math>\lim_{t \rightarrow \infty} a(t) \neq \infty</math>. Dans ces conditions, <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) \neq 0</math> et il en est de même pour l'autre limite. Dit en langage courant, la densité de matière et de rayonnement ne peuvent pas s'annuler. La dilution par l'expansion ne peut pas dépasser une certaine limite. Dans ces conditions, on trouve que les deux limites sont des nombres positifs non-nuls. On a alors :
 
: <math>0 < k \cdot c^2</math>