« Cosmologie/Le destin de l'univers » : différence entre les versions
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Il est aussi possible de voir les choses à partir du facteur d'échelle, en utilisant la dérivée du facteur d'échelle. Quand <math>\frac{da}{dt} > 0</math>, le facteur d'échelle augmente au cours du temps, ce qui implique un univers en expansion. Par contre, <math>\frac{da}{dt} < 0</math> implique un facteur d'échelle qui se réduit au cours du temps et donc un univers qui se contracte. Enfin, <math>\frac{da}{dt} = 0</math> implique un univers stable, qui n'est ni en expansion ni en contraction.
On peut calculer la dérivée du facteur d'échelle en utilisant la formule <math>a'(t) = \frac{d a}{d t}</math>. Et donc, on peut la calculer indirectement à partir de la première équation de Friedmann. Celle-ci s'écrit en effet, comme on l'a vu dans le chapitre sur l'énergie noire :▼
: <math>\left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = a^2 \left[ \frac{8 \pi G}{3 c^2} \rho_e + \frac{\Lambda c^2}{3} \right] - k \cdot c^2</math>▼
Pour rappel, la densité d'énergie est égale à la densité de matière et la densité de rayonnement :▼
: <math>\left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = a^2 \left[ \frac{8 \pi G}{3 c^2} (\rho_m(t) + \rho_r(t)) + \frac{\Lambda c^2}{3} \right] - k \cdot c^2</math>▼
Pour rappel, la densité de matière et de rayonnement évoluent comme suit : <math>\rho_m(t) = \rho_m0 \cdot a^(t){-3}</math> et <math>\rho_r(t) = \rho_r0 \cdot a(t)^{-4}</math>. En injectant dans l'équation précédente, on a :▼
: <math>\left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = a^2 \left[ \frac{8 \pi G}{3 c^2} \left( \frac{\rho_m0}{a^3} + \frac{\rho_r0}{a^4} \right) + \frac{\Lambda c^2}{3} \right] - k \cdot c^2</math>▼
On simplifie :▼
: <math>\left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) + a^2 \frac{\Lambda c^2}{3} - k \cdot c^2</math>▼
En théorie, on devrait étudier le destin de l'univers, ce qui veut dire son état quand l'âge de l'univers est très avancé, voire à la limite <math>t \rightarrow \infty</math>. Mais les équations précédentes sont écrites avec le facteur d'échelle, pas avec le temps. Cependant, le facteur d'échelle dépend du temps et on peut l'utiliser en remplacement, sous certaines hypothèses.
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| Infinie
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===Le calcul de la dérivée du facteur d'échelle===
▲On peut calculer la dérivée du facteur d'échelle en utilisant la formule <math>a'(t) = \frac{d a}{d t}</math>. Et donc, on peut la calculer indirectement à partir de la première équation de Friedmann. Celle-ci s'écrit en effet, comme on l'a vu dans le chapitre sur l'énergie noire :
▲: <math>\left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = a^2 \left[ \frac{8 \pi G}{3 c^2} \rho_e + \frac{\Lambda c^2}{3} \right] - k \cdot c^2</math>
▲Pour rappel, la densité d'énergie est égale à la densité de matière et la densité de rayonnement :
▲: <math>\left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = a^2 \left[ \frac{8 \pi G}{3 c^2} (\rho_m(t) + \rho_r(t)) + \frac{\Lambda c^2}{3} \right] - k \cdot c^2</math>
▲Pour rappel, la densité de matière et de rayonnement évoluent comme suit : <math>\rho_m(t) = \rho_m0 \cdot a^(t){-3}</math> et <math>\rho_r(t) = \rho_r0 \cdot a(t)^{-4}</math>. En injectant dans l'équation précédente, on a :
▲: <math>\left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = a^2 \left[ \frac{8 \pi G}{3 c^2} \left( \frac{\rho_m0}{a^3} + \frac{\rho_r0}{a^4} \right) + \frac{\Lambda c^2}{3} \right] - k \cdot c^2</math>
▲On simplifie :
▲: <math>\left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) + a^2 \frac{\Lambda c^2}{3} - k \cdot c^2</math>
===Le cas du ''big crunch''===
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