« Cosmologie/Le destin de l'univers » : différence entre les versions
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Ligne 73 :
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{d a}{d t} > 0</math>.
En injectant l'équation de Friedmann dans la seconde inégalité, on a :
Dans ces conditions, les facteurs <math>\frac{\rho_m}{a(t)}</math> et <math>\frac{\rho_r}{a(t)^2}</math> deviennent très petits, au point d'être négligeables, et vont s'annuler avec l'augmentation progressive de <math>a</math>. On a alors :▼
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \left
En sortant les termes indépendants de t de la limite, on a :
: <math>\frac{8 \pi G}{3 c^2} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) \right] + \frac{\Lambda c^2}{3} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} a^2 \right] - k \cdot c^2 > 0</math>
On réorganise :
: <math>\frac{8 \pi G}{3 c^2} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) \right] + \frac{\Lambda c^2}{3} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} a^2 \right] > k \cdot c^2</math>
▲
: <math>\frac{\Lambda c^2}{3} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} a^2 \right] > k \cdot c^2</math>
On voit que le destin de l'univers dépend uniquement de la valeur de la constante cosmologique et de la courbure. L'équation nous dit que la présence d'une constante cosmologique non-nulle suffit à elle seule pour que le ''big-rip'' survienne. Mais dans le cas où elle est nulle, le ''big rip'' dépend de la valeur de la courbure. Supposons que la cosntante cosmologique soit nulle, ce qui donne :
: <math>\frac{0 \cdot c^2}{3} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} a^2 \right] > k \cdot c^2</math>
Ce qui se simplifie en :
: <math>0 > k \cdot c^2</math>
On voit que le ''big rip'' est possible, mai à condition que la courbure soit négative.
Pour résumer, le ''big rip'' a lieu soit si la constante cosmologique est positive, soit si la courbure est négative (et même suffisamment négative pour compenser l'effet de la gravité/densité).
▲: <math>\left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = a^2 \frac{\Lambda c^2}{3} - k \cdot c^2</math>
Dit autrement, le destin de l'univers dépend uniquement de la valeur de la constante cosmologique et de la courbure.
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