« Cosmologie/Le destin de l'univers » : différence entre les versions
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Cette inégalité nous dit que le ''big crunch'' n'est possible que si l'univers a une courbure positive et que celle-ci a une intensité suffisante. Il faut alors que l'effet de la constante cosmologique et de la gravité soient compensés quand l'âge de l'univers a atteint une valeur suffisante.
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Pour le ''big-rip'', le facteur d'échelle tend vers l'infini. Dans ces conditions, les facteurs <math>\frac{\rho_m}{a(t)}</math> et <math>\frac{\rho_r}{a(t)^2}</math> deviennent très petits, au point d'être négligeables, et vont s'annuler avec l'augmentation progressive de <math>a</math>. On a alors :
Ligne 77 :
: <math>\left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \left(a^2 \rho_\Lambda - \rho_k0 + \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right)</math>
En prenant la limite <math>\lim_{t \rightarrow \infty} a(t)
: <math>\left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \left(a^2 \rho_\Lambda - \rho_k0 \right)</math>
Cette équation nous dit elle aussi que le destin de l'univers dépend uniquement de sa courbure et de la constante cosmologique. La dérivée du facteur d'échelle ne peut s'annuler que si <math>\rho_k = a^2 \rho_\Lambda</math>. Ce qui nous permet de retrouver la formule vue dans le chapitre sur les univers vides. En fait, quand le facteur d'échelle tend vers l'infini, la matière et le rayonnement sont tellement dilués que leur densité devient nulle. L'univers décrit dans une telle limite est alors identique à un univers vide, ce qui fait que les formules valables pour un univers vide valent aussi pour un univers suffisamment gonflé. Ainsi, le destin de l’univers ne dépend que du paramètre de courbure et de la constante cosmologique, et nullement des densités de matière et de rayonnement.
===Le cas du ''big chill''===
Dans le cas du ''big chill'', le facteur d'échelle ne tend pas vers l'infini et sa dérivée tend vers zéro :
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} a(t) \neq \infty</math>.
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{d a}{d t} = 0</math>.
On a alors :
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \left( \frac{d a}{d t} \right)^2 = 0</math>
Ce qui donne :
: <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \left[ \frac{8 \pi G}{3 c^2} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) + a^2 \frac{\Lambda c^2}{3} - k \cdot c^2 \right] = 0</math>
En sortant les termes indépendants de t de la limite, on a :
: <math>\frac{8 \pi G}{3 c^2} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) \right] + \frac{\Lambda c^2}{3} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} a^2 \right] - k \cdot c^2 = 0</math>
On réorganise :
: <math>\frac{8 \pi G}{3 c^2} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) \right] + \frac{\Lambda c^2}{3} \left[ \lim_{t \rightarrow \infty} a^2 \right] = k \cdot c^2</math>
Maintenant, on doit ajouter la contrainte qui veut que <math>\lim_{t \rightarrow \infty} a(t) \neq \infty</math>. Dans ces conditions, <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) \neq 0</math> et il en est de même pour l'autre limite. Dit en langage courant, la densité de matière et de rayonnement ne peuvent pas s'annuler. La dilution par l'expansion ne peut pas dépasser une certaine limite. Dans ces conditions, on trouve que les deux limites sont des nombres positifs non-nuls. On a alors :
: <math>0 < k \cdot c^2</math>
Dit autrement, un univers en situation de ''big chill'' implique que la courbure est positive. Cette courbure positive ralenti l'expansion de l'univers et la stabilise. Mais sans courbure positive, il n'y a pas de force de freinage qui limite l'expansion sans pour autant causer de ''big chill''.
==La densité critique et le paramètre de densité==
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