« Cosmologie/Le destin de l'univers » : différence entre les versions

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Le scénario qui se matérialise dépend du facteur de Hubble. Rappelons en effet que le facteur de Hubble est le taux d'expansion de l'univers, le taux auquel l'univers augmente de volume. Un H négatif signifie que l'univers se contracte, un H positif signifie que l'univers est en expansion, et un H nul signifie que l'univers est stationnaire. Pour l'étude du destin de l'univers, on se préoccupe du facteur de Hubble obtenu après un temps assez long, pour un âge de l'univers très important. Idéalement, on doit étudier la limite de H quand le temps tend vers l'infini : <math>\lim_{t \rightarrow \infty} H(t)</math>.
 
On distingue les trois scénarios précédents selon que la limite de H et/ou de a(t) est positive, négative ou nulle.
Il est aussi possible de voir les choses à partir du facteur d'échelle, en utilisant la dérivée du facteur d'échelle. Quand <math>\frac{da}{dt} > 0</math>, le facteur d'échelle augmente au cours du temps, ce qui implique un univers en expansion. Par contre, <math>\frac{da}{dt} < 0</math> implique un facteur d'échelle qui se réduit au cours du temps et donc un univers qui se contracte. Enfin, <math>\frac{da}{dt} = 0</math> implique un univers stable, qui n'est ni en expansion ni en contraction.
 
On distingue les trois scénarios précédents selon que la limite de H et/ou de a(t) est positive, négative ou nulle.
 
* ''Positive'' : l'expansion de l'univers ne s’arrête jamais et c'est le ''big rip'' qui se matérialise.
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===Le calcul de la dérivée du facteur d'échelle===
 
Il est aussi possible de voir les choses à partir du facteur d'échelle, en utilisant la dérivée du facteur d'échelle. Quand <math>\frac{da}{dt} > 0</math>, le facteur d'échelle augmente au cours du temps, ce qui implique un univers en expansion. Par contre, <math>\frac{da}{dt} < 0</math> implique un facteur d'échelle qui se réduit au cours du temps et donc un univers qui se contracte. Enfin, <math>\frac{da}{dt} = 0</math> implique un univers stable, qui n'est ni en expansion ni en contraction.
 
On peut calculer la dérivée du facteur d'échelle en utilisant la formule <math>a'(t) = \frac{d a}{d t}</math>. Et donc, on peut la calculer indirectement à partir de la première équation de Friedmann. Celle-ci s'écrit en effet, comme on l'a vu dans le chapitre sur l'énergie noire :
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: <math>\left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) + a^2 \frac{\Lambda c^2}{3} - k \cdot c^2</math>
 
Dans le cas du ''big-crunch'', l'univers gonfle avant de se rétracter. Au niveau du facteur d'échelle, cela signifie que le facteur d'échelle est initialement croissant, cesse de croitre à un temps bien précis, et décroit au-delà. Au niveau du facteur de Hubble, cela signifie qu'il est d'abord positif (univers en expansion), puis s'annule, et enfin devient négatif. On est donc dans le cas où la dérivée du facteur d'échelle s'annule pour un temps fini.
Nous nous intéressons au destin de l'univers, ce qui correspond à un âge de l'univers t très important. Formellement, on doit prendre la limite quand <math>t</math> tend vers l'infini pour déterminer le destin de l'univers. Mais les équations précédentes sont écrites avec le facteur d'échelle, pas avec le temps. Cependant, le facteur d'échelle dépend du temps et on peut l'utiliser en remplacement, sous certaines hypothèses. On peut donc étudier les équations précédentes quand le facteur d'échelle est très grand (<math>a >> 0</math>), voire quand on prend la limite où a(t) tend vers l'infini.
 
===Le cas du ''big-crunch''===
 
Dans le cas du ''big-crunch'', l'univers gonfle avant de se rétracter. Au niveau du facteur d'échelle, cela signifie que le facteur d'échelle est initialement croissant, cesse de croitre à un temps bien précis, et décroit au-delà. Au niveau du facteur de Hubble, cela signifie qu'il est d'abord positif (univers en expansion), puis s'annule, et enfin devient négatif.
 
On est donc dans le cas où le facteur de Hubble s'annule pour un temps fini, et on peut calculer le temps et la densité où cela à lieu. Partons pour cela de l'équation de Friedmann.
 
: <math>H^2 = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \rho_e - \frac{k \cdot c^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>
 
Reformulons en mettant le terme de courbure dans le terme de gauche :
 
: <math>H^2 + \frac{k \cdot c^2}{a^2} = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \rho_e + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>
 
Dans le cas du ''big-chill'', la dérivée s'annule, mais seulement pour la limite <math>t \rightarrow \infty</math>. L'univers ne cesse de croitre et ce n'est qu'après un temps infini qu'il se stabilise.
Le cas où <math>H = 0</math>, à savoir la troisième scénario, donne :
 
Dans le cas du ''big-rip'', la dérivée reste positive quand on passe à la limite <math>t \rightarrow \infty</math>. L'univers ne cesse de croitre et ne se stabilise pas, même après un temps infini.
: <math>\frac{8 \pi G}{3 c^2} \rho_e = \frac{k \cdot c^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>
 
Comme on le voit, les deux cas du ''big-chill'' et du ''big-rip'' s'étudient en passant à la limite <math>t \rightarrow \infty</math> dans les équations précédentes. Mais les équations précédentes sont écrites avec le facteur d'échelle, pas avec le temps. Cependant, le facteur d'échelle dépend du temps et on peut l'utiliser en remplacement, sous certaines hypothèses.
Le premier terme correspond à l'effet de la gravité sur l'expansion, tandis que le second traduit l'effet de la courbure et le troisième l'effet de la constante cosmologique. L'équation précédente nous dit que le troisième scénario a lieu si la gravité de la matière est exactement contrebalancée par la courbure et la constante cosmologique. Leurs effets sur l'expansion s'annulent l'un l'autre. Les deux autres scénarios se déduisent facilement de se constat. Le ''big crunch'' est le cas où la densité de l'univers surpasse l'effet des autres termes : la gravitation l'emporte sur l'expansion, ce qui fait que l'univers s'effondre sur lui-même. Inversement, si les autres termes l'emportent sur la gravité/densité, l'univers s'étend de plus en plus et on est dans un cas de ''big rip''.
 
===Les cas du ''big rip''===
 
DansPour le cas du ''big-crunch'', le facteur d'échelle augmente avec le temps, avant de diminuer, ce qui fait que sa limite est inconnue. Mais dans le scénario du ''big rip'', le facteur d'échelle tend vers l'infini. Dans ces conditions, les facteurs <math>\frac{\rho_m}{a(t)}</math> et <math>\frac{\rho_r}{a(t)^2}</math> deviennent très petits, au point d'être négligeables, et vont s'annuler avec l'augmentation progressive de <math>a</math>. On a alors :
 
: <math>\left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = a^2 \frac{\Lambda c^2}{3} - k \cdot c^2</math>