« Cosmologie/Le destin de l'univers » : différence entre les versions
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==Le lien avec le facteur de Hubble et de facteur d'échelle==
Le scénario qui se matérialise dépend
* ''Positive'' : l'expansion de l'univers ne s’arrête jamais et c'est le ''big rip'' qui se matérialise.
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* ''Négative'' : l'expansion s'inverse si le facteur de Hubble devient négatif et l'univers finit en ''big-crunch''.
===Le cas du ''Big crunch''===▼
Il est aussi possible de
Dans le cas du ''big-crunch'', l'univers gonfle avant de se rétracter. Au niveau du facteur d'échelle, cela signifie que le facteur d'échelle est initialement croissant, cesse de croitre à un temps bien précis, et décroit au-delà. Au niveau du facteur de Hubble, cela signifie qu'il est d'abord positif (univers en expansion), puis s'annule, et enfin devient négatif.▼
On est donc dans le cas où le facteur de Hubble s'annule pour un temps fini, et on peut calculer le temps et la densité où cela à lieu. Partons pour cela de l'équation de Friedmann.▼
: <math>H^2 = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \rho_e - \frac{k \cdot c^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>▼
Reformulons en mettant le terme de courbure dans le terme de gauche :▼
: <math>H^2 + \frac{k \cdot c^2}{a^2} = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \rho_e + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>▼
Le cas où <math>H = 0</math>, à savoir la troisième scénario, donne :▼
: <math>\frac{8 \pi G}{3 c^2} \rho_e = \frac{k \cdot c^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>▼
Le premier terme correspond à l'effet de la gravité sur l'expansion, tandis que le second traduit l'effet de la courbure et le troisième l'effet de la constante cosmologique. L'équation précédente nous dit que le troisième scénario a lieu si la gravité de la matière est exactement contrebalancée par la courbure et la constante cosmologique. Leurs effets sur l'expansion s'annulent l'un l'autre. Les deux autres scénarios se déduisent facilement de se constat. Le ''big crunch'' est le cas où la densité de l'univers surpasse l'effet des autres termes : la gravitation l'emporte sur l'expansion, ce qui fait que l'univers s'effondre sur lui-même. Inversement, si les autres termes l'emportent sur la gravité/densité, l'univers s'étend de plus en plus et on est dans un cas de ''big rip''.▼
===Les cas du ''Big Chill'' et du ''big rip''===▼
▲Il est possible de reformuler les équations précédentes en utilisant la dérivée du facteur d'échelle <math>a'(t) = \frac{d a}{d t}</math>, que l'on peut calculer à partir de la formule <math>a'(t) = a \times H</math>. Quand <math>\frac{da}{dt} > 0</math>, le facteur d'échelle augmente au cours du temps, ce qui implique un univers en expansion. Par contre, <math>\frac{da}{dt} < 0</math> implique un facteur d'échelle qui se réduit au cours du temps et donc un univers qui se contracte. Enfin, <math>\frac{da}{dt} = 0</math> implique un univers stable, qui n'est ni en expansion ni en contraction.
La première équation de Friedmann s'écrit alors, comme on l'a vu dans le chapitre sur l'énergie noire :
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Nous nous intéressons au destin de l'univers, ce qui correspond à un âge de l'univers t très important. Formellement, on doit prendre la limite quand <math>t</math> tend vers l'infini pour déterminer le destin de l'univers. Mais les équations précédentes sont écrites avec le facteur d'échelle, pas avec le temps. Cependant, le facteur d'échelle dépend du temps et on peut l'utiliser en remplacement, sous certaines hypothèses. On peut donc étudier les équations précédentes quand le facteur d'échelle est très grand (<math>a >> 0</math>), voire quand on prend la limite où a(t) tend vers l'infini.
▲Dans le cas du ''big-crunch'', l'univers gonfle avant de se rétracter. Au niveau du facteur d'échelle, cela signifie que le facteur d'échelle est initialement croissant, cesse de croitre à un temps bien précis, et décroit au-delà. Au niveau du facteur de Hubble, cela signifie qu'il est d'abord positif (univers en expansion), puis s'annule, et enfin devient négatif.
▲On est donc dans le cas où le facteur de Hubble s'annule pour un temps fini, et on peut calculer le temps et la densité où cela à lieu. Partons pour cela de l'équation de Friedmann.
▲: <math>H^2 = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \rho_e - \frac{k \cdot c^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>
▲Reformulons en mettant le terme de courbure dans le terme de gauche :
▲: <math>H^2 + \frac{k \cdot c^2}{a^2} = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \rho_e + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>
▲Le cas où <math>H = 0</math>, à savoir la troisième scénario, donne :
▲: <math>\frac{8 \pi G}{3 c^2} \rho_e = \frac{k \cdot c^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>
▲Le premier terme correspond à l'effet de la gravité sur l'expansion, tandis que le second traduit l'effet de la courbure et le troisième l'effet de la constante cosmologique. L'équation précédente nous dit que le troisième scénario a lieu si la gravité de la matière est exactement contrebalancée par la courbure et la constante cosmologique. Leurs effets sur l'expansion s'annulent l'un l'autre. Les deux autres scénarios se déduisent facilement de se constat. Le ''big crunch'' est le cas où la densité de l'univers surpasse l'effet des autres termes : la gravitation l'emporte sur l'expansion, ce qui fait que l'univers s'effondre sur lui-même. Inversement, si les autres termes l'emportent sur la gravité/densité, l'univers s'étend de plus en plus et on est dans un cas de ''big rip''.
▲===Les cas du ''Big Chill'' et du ''big rip''===
Dans le cas du ''big-crunch'', le facteur d'échelle augmente avec le temps, avant de diminuer, ce qui fait que sa limite est inconnue. Mais dans les deux autres scénarios, le facteur d'échelle tend vers l'infini. Dans ces conditions, les facteurs <math>\frac{\rho_m}{a(t)}</math> et <math>\frac{\rho_r}{a(t)^2}</math> deviennent très petits, au point d'être négligeables, et vont s'annuler avec l'augmentation progressive de <math>a</math>. On a alors :
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