« Cosmologie/Le destin de l'univers » : différence entre les versions
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==Le lien avec le facteur de Hubble==
Le scénario qui se matérialise dépend du signe du facteur de Hubble. Rappelons en effet que le facteur de Hubble est le taux d'expansion de l'univers, le taux auquel l'univers augmente de volume. Un H négatif signifie que l'univers se contracte, un H positif signifie que l'univers est en expansion, et un H nul signifie que l'univers est stationnaire. Pour l'étude du destin de l'univers, on se préoccupe du facteur de Hubble obtenu après un temps assez long, pour un âge de l'univers très important. Idéalement, on doit étudier la limite de H quand le temps tend vers l'infini : <math>\lim_{t \rightarrow \infty} H(t)</math>.
On distingue les trois scénarios précédents selon que la limite de H est positive, négative ou nulle. * ''Positive'' : l'expansion de l'univers ne s’arrête jamais et c'est le ''big rip'' qui se matérialise.
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* ''Nulle'' : le ''big chill'' se matérialise si le facteur de Hubble tend vers 0.
Or, le facteur de Hubble est relié à la courbure de l'univers et sa densité par la relation de
===Le cas du ''Big Chill''===
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==Le lien avec la dérivée du facteur d'échelle==
Il est possible de reformuler les équations précédentes en utilisant la dérivée du facteur d'échelle <math>a'(t) = \frac{d a}{d t}</math>, que l'on peut calculer à partir de la formule <math>a'(t) = a \times H</math>
La première équation de Friedmann s'écrit alors, comme on l'a vu dans le chapitre sur l'énergie noire :
: <math>\left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = a^2 \left[ \frac{8 \pi G}{3 c^2} \rho_e + \frac{\Lambda c^2}{3} \right] - k \cdot c^2</math>
Pour rappel, la densité d'énergie est égale à la densité de matière et la densité de rayonnement :
: <math>\left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = a^2 \left[ \frac{8 \pi G}{3 c^2} (\rho_m(t) + \rho_r(t)) + \frac{\Lambda c^2}{3} \right] - k \cdot c^2</math>
Pour rappel, la densité de matière et de rayonnement évoluent comme suit : <math>\rho_m(t) = \rho_m0 \cdot a^(t){-3}</math> et <math>\rho_r(t) = \rho_r0 \cdot a(t)^{-4}</math>. En injectant dans l'équation précédente, on a :
: <math>\left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = a^2 \left[ \frac{8 \pi G}{3 c^2} \left( \frac{\rho_m0}{a^3} + \frac{\rho_r0}{a^4} \right) + \frac{\Lambda c^2}{3} \right] - k \cdot c^2</math>
On simplifie :
: <math>\left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \left( \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right) + \frac{\Lambda c^2}{3} - k \cdot c^2</math>
Nous nous intéressons au destin de l'univers, ce qui correspond à un âge de l'univers t très important. Formellement, on doit prendre la limite quand <math>t</math> tend vers l'infini pour déterminer le destin de l'univers. Mais les équations précédentes sont écrites avec le facteur d'échelle, pas avec le temps. Cependant, le facteur d'échelle dépend du temps et on peut l'utiliser en remplacement, sous certaines hypothèses. On peut donc étudier les équations précédentes quand le facteur d'échelle est très grand (<math>a >> 0</math>), voire quand on prend la limite où a(t) tend vers l'infini.
: <math>\left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = \frac{\Lambda c^2}{3} - k \cdot c^2</math>
Dit autrement, le destin de l'univers dépend uniquement de la valeur de la constante cosmologique et de la courbure.
Une autre manière de voir les choses est de fusionner la constante cosmologique et la courbure avec la densité d'énergie, ce qui donne l'équation suivante, vue dans le chapitre sur l'énergie noire :
: <math>\left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \left(a^2 \rho_\Lambda - \rho_k0 + \frac{\rho_m0}{a} + \frac{\rho_r0}{a^2} \right)</math>
En prenant la limite <math>a(t) \rightarrow \infty</math>, on a :
▲Nous nous intéressons au destin de l'univers, ce qui correspond à un âge de l'univers, et donc un facteur d'échelle, très important. Formellement, on doit prendre la limite quand <math>a</math> tend vers l'infini pour déterminer le destin de l'univers. Une autre manière de faire est de supposer que le facteur d'échelle est très grand (<math>a >> 0</math>), ce qui permet de simplifier l'équation précédente. Les facteurs <math>\frac{\rho_m}{a(t)}</math> et <math>\frac{\rho_r}{a(t)^2}</math> deviennent très petits, au point d'être négligeables, et vont naturellement s'annuler avec l'augmentation progressive de <math>a</math>. On a alors :
: <math>\left(\frac{d a}{d t}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3 c^2} \left(a^2 \rho_\Lambda - \rho_k0 \right)</math>
Cette équation nous dit elle aussi que le destin de l'univers dépend uniquement de sa courbure et de la constante cosmologique. La dérivée du facteur d'échelle ne peut s'annuler que si <math>\rho_k = a^2 \rho_\Lambda</math>. Ce qui nous permet de retrouver la formule vue dans le chapitre sur les univers vides. En fait, quand le facteur d'échelle tend vers l'infini, la matière et le rayonnement sont tellement dilués que leur densité devient nulle. L'univers décrit dans une telle limite est alors identique à un univers vide, ce qui fait que les formules valables pour un univers vide valent aussi pour un univers suffisamment gonflé. Ainsi, le destin de l’univers ne dépend que du paramètre de courbure et de la constante cosmologique, et nullement des densités de matière et de rayonnement.
==La paramètre de densité==
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