Différences entre les versions de « Cosmologie/Le spectre de puissance des perturbations »

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[[File:Fig 07b.png|centre|vignette|upright=2.0|Illustration des séries de Fourier.]]
 
===La série de Fourier du champ de densité===
 
Si on note chaque onde élémentaire <math>\overline{\delta}(x,t)</math>, le théorème de Fourier nous donne l'équation suivante :
 
: <math>\delta(x,t) = \frac{1}{(2 \pi)^3} \int \overline{\delta}(\vec k) \cdot e^{- i (\vec k \cdot \vec x)} d \vec k</math>, avec <math>\vec k</math> le vecteur d'onde, un vecteur de norme <math>k = \frac{2 \pi}{\lambda}</math>.
 
On peut alors combiner cette équation avec l'équation dérivée il y a quelques chapitres :
 
: <math>\frac{\partial^2 \delta}{\partial^2 t} + 2 H \frac{\partial \delta}{\partial t} = \frac{1}{a^2} \left[ c_s^2 \cdot d^2 \delta + 4 \pi G \rho_m \delta \right]</math>
 
On peut combiner les deux équations. Le résultat, très difficile à obtenir, est pourtant surprenamment simple :
 
: <math>\frac{\partial^2 \overline{\delta}(k)}{\partial^2 t} + 2 H \frac{\partial \overline{\delta}(k)}{\partial t} - \frac{1}{a^2} \left[ c_s^2 k^2 + 4 \pi G \rho_m \right] \overline{\delta}(k) = 0</math>
 
===Le spectre de puissance des perturbations===
 
En clair, si il y a des corrélations en loi de puissance pour un intervalle de k précis, alors il existe des anti-corrélations en-dehors de cette intervalle. Les corrélations et anti-corrélations se compensent et annulent l'intégrale précédente.
 
===La série de Fourier du champ de densité===
 
Sans forcément utiliser le spectre de puissance, on peut utiliser directement la décomposition en séries de Fourier du champ de densité. Celle-ci décrit le champ de densité comme la somme/intégrale d'une infinité d'ondes périodiques simples. Si on note chaque onde élémentaire <math>\overline{\delta}(x,t)</math>, le théorème de Fourier nous donne l'équation suivante :
 
: <math>\delta(x,t) = \frac{1}{(2 \pi)^3} \int \overline{\delta}(\vec k) \cdot e^{- i (\vec k \cdot \vec x)} d \vec k</math>, avec <math>\vec k</math> le vecteur d'onde, un vecteur de norme <math>k = \frac{2 \pi}{\lambda}</math>.
 
On peut alors combiner cette équation avec l'équation dérivée il y a quelques chapitres :
 
: <math>\frac{\partial^2 \delta}{\partial^2 t} + 2 H \frac{\partial \delta}{\partial t} = \frac{1}{a^2} \left[ c_s^2 \cdot d^2 \delta + 4 \pi G \rho_m \delta \right]</math>
 
On peut combiner les deux équations. Le résultat, très difficile à obtenir, est pourtant surprenamment simple :
 
: <math>\frac{\partial^2 \overline{\delta}(k)}{\partial^2 t} + 2 H \frac{\partial \overline{\delta}(k)}{\partial t} - \frac{1}{a^2} \left[ c_s^2 k^2 + 4 \pi G \rho_m \right] \overline{\delta}(k) = 0</math>
 
Nous étudierons cette équation et sa dynamique dans le chapitre suivant.
 
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