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« Cosmologie/Le spectre de puissance des perturbations » : différence entre les versions

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==La transformée de Fourier du champ de densité==
 
Une autre manière équivalente de décrire le champ de densité est d'utiliser son '''spectre de puissance'''. Pour rappel, le terme <math>\delta(x,t)</math> est une fonction qui associe une perturbation de densité à tout endroit de l'espace et à chaque instant. On dit aussi que cette fonction décrit un champ de densité. Or, il existe un théorème qui nous dit que tout champ peut être décomposée en champs périodiques semblables à des cosinus ou sinus. Ces champs périodiques sont des formellement des ondes de forme cosinusoïdales ou sinusoïdales. Dans notre cas, la forme de ces ondes est l'équivalent en trois dimension d'un sinus/cosinus. En additionnant un certain nombre (potentiellement infini) de ces ondes de base, pondérées par un coefficient, on peut obtenir n'importe quelle champ résultant. C'est ce qu'on appelle la '''transformée de Fourier''' des fonctions continues. Le champ de densité ne fait pas exception et on peut utiliser ce théorème pour décomposer le champ de densité en une somme d'ondes.
 
[[File:Fig 07b.png|centre|vignette|upright=2.0|Illustration des séries de Fourier.]]
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: <math>\delta(x,t) = \frac{1}{(2 \pi)^3} \int \overline{\delta}(\vec k) \cdot e^{- i (\vec k \cdot \vec x)} d \vec k</math>, avec <math>\vec k</math> le vecteur d'onde, un vecteur de norme <math>k = \frac{2 \pi}{\lambda}</math>.
 
On peut alors combiner cette équation avec l'équation dérivée il y a quelques chapitres :▼
===Le spectre de puissance===▼
 
: <math>\frac{\partial^2 \delta}{\partial^2 t} + 2 H \frac{\partial \delta}{\partial t} = \frac{1}{a^2} \left[ c_s^2 \cdot d^2 \delta + 4 \pi G \rho_m \delta \right]</math>▼
Le '''spectre de puissance''' donne l'ensemble des amplitudes de chaque onde sinusoïdale et s'obtient avec la transformée de Fourier. Dit autrement, il donne l'amplitude pour chaque fréquence possible. Mais pour le cas qui nous intéresse, ces ondes sinusoïdales décrivent des surdensités statiques, ce qui fait que la définition à base de fréquences n'est pas la plus adaptée. A la place, il faut voir le spectre de puissance comme quelque chose qui donne l'amplitude de chaque perturbation en fonction de la longueur d'onde. Dans le cas qui nous intéresse, la longueur d'onde correspond à la taille d'une perturbation périodique. Le spectre de puissance donne donc l'intensité de la surdensité en fonction de sa taille et est donc une fonction du type :▼
 
On peut combiner les deux équations. Le résultat, très difficile à obtenir, est pourtant surprenamment simple :▼
: <math>P(k) = ...</math>, avec <math>k</math> le nombre d'onde qui est défini par <math>k = \frac{2 \pi}{\lambda}</math>.▼
 
: <math>\frac{\partial^2 \overline{\delta}(k)}{\partial^2 t} + 2 H \frac{\partial \overline{\delta}(k)}{\partial t} - \frac{1}{a^2} \left[ c_s^2 k^2 + 4 \pi G \rho_m \right] \overline{\delta}(k) = 0</math>▼
 
▲===Le spectre de puissance= des perturbations==
====La relation avec la fonction de corrélation====
 
▲LeUne autre manière équivalente de décrire le champ de densité est d'utiliser son '''spectre de puissance'''. Il donne l'ensemble des amplitudes de chaque onde sinusoïdale et s'obtient avec la transformée de Fourier. Dit autrement, il donne l'amplitude pour chaque fréquence possible. Mais pour le cas qui nous intéresse, ces ondes sinusoïdales décrivent des surdensités statiques, ce qui fait que la définition à base de fréquences n'est pas la plus adaptée. A la place, il faut voir le spectre de puissance comme quelque chose qui donne l'amplitude de chaque perturbation en fonction de la longueur d'onde. Dans le cas qui nous intéresse, la longueur d'onde correspond à la taille d'une perturbation périodique. Le spectre de puissance donne donc l'intensité de la surdensité en fonction de sa taille et est donc une fonction du type :
 
▲: <math>P(k) = ...</math>, avec <math>k</math> le nombre d'onde qui est défini par <math>k = \frac{2 \pi}{\lambda}</math>.
 
Le spectre de puissance et la fonction de corrélation sont reliés l'un à l'autre, par la relation suivante :
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Les deux équations précédentes nous disent que le spectre de puissance et la fonction de corrélation (en fait son intégrale) sont proportionnels.
 
====Les spectres en loi de puissance et le spectre de Harrison-Zeldovitch====
 
Dans le cas général, connaitre le spectre de puissance n'est pas suffisant pour décrire complètement le champ de densité, du moins d'un point de vue statistique. Il en est de même avec la fonction de corrélation qui est elle aussi un résumé imparfait de la distribution. Cependant, il existe des distributions statistiques pour lesquelles la connaissance du spectre de puissance et/ou de la fonction de corrélation suffit à décrire totalement les propriétés statistiques du champ décrit. Ce sont les '''champs aléatoires gaussiens''', pour lesquels la densité suit une distribution gaussienne (la fameuse courbe en cloche). Et ce sont ces gaussiennes qui sont utilisées pour modéliser le champ de densité cosmologique, faute de mieux. Le spectre de puissance de tels champs aléatoires gaussiens suit une loi de puissance de la forme :
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En clair, avec l'expansion, le spectre de puissance évolue, mais cette évolution est prévisible. Il est simplement multiplié par une constante multiplicative qui dépend du carré du temps écoulé. Cela veut dire deux choses. Premièrement, le spectre de puissance est décalé avec le temps. Deuxièmement, les amplitudes sont réduites par un coefficient multiplicatif dépendant du temps. Du moins, c'est le cas pour les structures qui suivent cette loi d'évolution.
 
===Les défauts des spectres en loi de puissance===

Les spectres en loi de puissance ont des propriétés intéressantes. Cependant, des arguments techniques nous font dire que le spectre des perturbations ne peut pas être en loi de puissance sur l'ensemble des longueurs d'onde possibles. Ce n'est pas compatibblecompatible avec l’homogénéité du CMB, qui impose que :
 
: <math>P(k) \rightarrow 0</math> si <math>k \rightarrow 0</math>
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En clair, si il y a des corrélations en loi de puissance pour un intervalle de k précis, alors il existe des anti-corrélations en-dehors de cette intervalle. Les corrélations et anti-corrélations se compensent et annulent l'intégrale précédente.
 
===L'équation d'évolution des perturbations et le spectre de puissance===
 
On a vu plus haut que le champ de densité est décrit par la transformée de Fourier suivante :
 
: <math>\delta(x,t) = \frac{1}{(2 \pi)^3} \int \overline{\delta}(\vec k) \cdot e^{- i (\vec k \cdot \vec x)} d \vec k</math>, avec <math>\vec k</math> le vecteur d'onde, un vecteur de norme <math>k = \frac{2 \pi}{\lambda}</math>.
 
▲On peut alors combiner cette équation avec l'équation dérivée il y a quelques chapitres :
 
▲: <math>\frac{\partial^2 \delta}{\partial^2 t} + 2 H \frac{\partial \delta}{\partial t} = \frac{1}{a^2} \left[ c_s^2 \cdot d^2 \delta + 4 \pi G \rho_m \delta \right]</math>
 
▲On peut combiner les deux équations. Le résultat, très difficile à obtenir, est pourtant surprenamment simple :
 
▲: <math>\frac{\partial^2 \overline{\delta}(k)}{\partial^2 t} + 2 H \frac{\partial \overline{\delta}(k)}{\partial t} - \frac{1}{a^2} \left[ c_s^2 k^2 + 4 \pi G \rho_m \right] \overline{\delta}(k) = 0</math>
 
<noinclude>
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