« Cosmologie/Les perturbations cosmologiques » : différence entre les versions
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m →La relation entre pression et densité : Retrait de l'entropie des équations, vu que l'expansion est isentropique |
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===La relation entre pression et densité===
Il ne nous reste plus qu'à calculer le terme <math>\Delta P</math>. Il se trouve que, par définition du laplacien <math>\Delta</math>, celle-ci est simplement la dérivée seconde de la pression. Avant de calculer cette dérivée seconde, nous allons calculer la dérivée première, avant d'en déduire la dérivée seconde. De manière générale, la pression dépend de la densité
: <math>
Fait intéressant, le terme <math>\frac{\partial P}{\partial \rho}</math> est, par définition, proportionnel au carré de la vitesse du son <math>c_s</math> dans le fluide considéré. En effet, les formules nous disent que pour un gaz parfait, on a la relation suivante :
Ligne 151 :
Dans ce qui suit, on négligera le coefficient d'expansion adiabatique <math>\gamma</math>, en supposant qu'il vaut 1. En notant <math>\alpha</math> le terme <math>\frac{\partial P}{\partial S}</math> et <math>c_s</math> la vitesse du son, on a :
: <math>d P = c_s^2 \cdot d
En dérivant une seconde fois, on trouve la dérivée seconde, qui n'est autre que le terme <math>\Delta P</math> :
: <math>\Delta P = c_s^2 \cdot d^2 \rho
En injectant l'équation précédente dans l'équation d'Euler, on a :
: <math>\frac{\partial^2 \delta}{\partial^2 t} + 2 H \frac{\partial \delta}{\partial t} = \frac{1}{a^2} \left[ \frac{c_s^2 \cdot d^2 \rho
==L'équation finale==
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