« Cosmologie/Le spectre de puissance des perturbations » : différence entre les versions

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: <math>P(k) = ...</math>, avec <math>k</math> le nombre d'onde qui est défini par <math>k = \frac{2 \pi}{\lambda}</math>.
 
====La relation avec la fonction de corrélation====
 
Le spectre de puissance et la fonction de corrélation sont reliés l'un à l'autre, par la relation suivante :
 
Les deux équations précédentes nous disent que le spectre de puissance et la fonction de corrélation (en fait son intégrale) sont proportionnels.
 
====Les spectres en loi de puissance et le spectre de Harrison-Zeldovitch====
 
Dans le cas général, connaitre le spectre de puissance n'est pas suffisant pour décrire complètement le champ de densité, du moins d'un point de vue statistique. Il en est de même avec la fonction de corrélation qui est elle aussi un résumé imparfait de la distribution. Cependant, il existe des distributions statistiques pour lesquelles la connaissance du spectre de puissance et/ou de la fonction de corrélation suffit à décrire totalement les propriétés statistiques du champ décrit. Ce sont les '''champs aléatoires gaussiens''', pour lesquels la densité suit une distribution gaussienne (la fameuse courbe en cloche). Et ce sont ces gaussiennes qui sont utilisées pour modéliser le champ de densité cosmologique, faute de mieux. Le spectre de puissance de tels champs aléatoires gaussiens suit une loi de puissance de la forme :
: <math>P(k) = A \cdot k^n</math>
 
Quand l'exposant vaut 1, l'amplitude des fluctuations ne dépend pas de l'échelle. Le spectre de puissance ainsiavec décrit en cosmologie<math>n=1</math> est appelé le '''spectre de Harrison-Zeldovitch''', quand l'exposantil vautest 1utilisé en cosmologie.
 
: <math>P(k) = A \cdot k</math>
 
Un avantage de ce spectre de puissance est qu'il est invariant si les perturbations sont stables en coordonnées comobiles. Par exemple, supposons que les perturbations évoluent linéairement avec l'expansion, c'est à dire qu'elles grossissent au même rythme que l'expansion. Dit autrement, elles ont toujours la même taille en coordonnées comobiles et sont figées. On verra dans le chapitre suivant que les grosses perturbations sont toutes dans ce cas là, mais passons. Dans ce cas, on peut décrire de telles perturbations comme suit :
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