« Cosmologie/L'évolution des perturbations avant le découplage » : différence entre les versions
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On voit que dans des univers dominés par la matière, les perturbations ne grandissent pas très vite mais le font en suivant une loi de puissance. Cette croissance est inférieure à celle observée dans un univers statique, pour lequel on aurait : <math>D_+ \propto t</math> ! C'est avant le découplage, dans un univers dominé par le rayonnement, que la croissance des structures est la plus lente. Leur croissance a été plus rapide après le découplage, leur vitesse de croissance ayant quelque peu augmenté lors du passage à un univers dominé par la matière. Ce résultat porte le nom d''''effet Meszaros'''.
===La vitesse de croissance des perturbations après le découplage===
A la suite du découplage, l'univers est dominé par la matière. On peut alors réutiliser les équations vues dans le chapitre sur les modèles cosmologiques de Friedmann, et notamment les équations suivantes :
: <math>p_m(t) = a^{-3} \cdot p_\text{critique}(t) = \frac{3 H^2}{8 \pi G} \frac{1}{t^2}</math>
: <math>a(t) = t^{\frac{2}{3}}</math>
: <math>H(t) = \frac{2}{3}</math>
Rappelons l'équation originale :
: <math>\ddot D(t) + 2 H \cdot \dot D(t) - 4 \pi G \rho_m \cdot D(t) = 0</math>
Injectons l'équation <math>p_m(t) = a^{-3} \cdot p_\text{critique}(t) = \frac{3 H^2}{8 \pi G} \frac{1}{t^2}</math> :
: <math>\ddot D(t) + 2 H \cdot \dot D(t) - 4 \pi G \cdot \frac{3 H^2}{8 \pi G} \frac{1}{t^2} \cdot D(t) = 0</math>
Simplifions par <math>4 \pi G</math> :
: <math>\ddot D(t) + 2 H \cdot \dot D(t) - \frac{3}{2} \frac{H^2}{t^2} \cdot D(t) = 0</math>
Puis, injectons l'équation <math>H(t) = \frac{2}{3}</math> :
: <math>\ddot D(t) + 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \dot D(t) - \frac{3}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^2 \frac{1}{t^2} \cdot D(t) = 0</math>
Simplifions :
: <math>\ddot D(t) + \frac{4}{3} \cdot \dot D(t) - \frac{2}{3} \frac{1}{t^2} \cdot D(t) = 0</math>
En supposant que <math>D \propto t^p</math>, on a :
: <math>\ddot (t^p) + \frac{4}{3} \cdot \dot (t^p) - \frac{2}{3} \frac{1}{t^2} \cdot t^p = 0</math>
En calculant les dérivées et en simplifiant, on trouve :
: <math>p(p-1) + \frac{4}{3} p - \frac{2}{3} = 0</math>
Les deux solutions possibles sont respectivement <math>p = -1</math> et <math>p = {2 \over 3}</math>. La première correspond à des fluctuations qui décroissent avec le temps, la seconde est plus intéressante. En injectant dans <math>D \propto t^p</math>, on trouve :
: <math>D_+ \propto t^{\frac{2}{3}}</math>
==Le cas où P < G : les oscillations acoustiques de baryons==
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