Différences entre les versions de « Cosmologie/Le spectre de puissance des perturbations »

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: <math>\epsilon(d) \approx k \cdot d^{- \gamma}</math>, avec <math>\gamma \approx 1,8</math>.
 
==La transformée de Fourier du champ de densité==
==Le spectre de puissance==
 
Une autre manière équivalente de décrire le champ de densité est d'utiliser son '''spectre de puissance'''. Pour rappel, le terme <math>\delta(x,t)</math> est une fonction qui associe une perturbation de densité à tout endroit de l'espace et à chaque instant. On dit aussi que cette fonction décrit un champ de densité. Or, il existe un théorème qui nous dit que tout champ peut être décomposée en champs périodiques semblables à des cosinus ou sinus. Ces champs périodiques sont des formellement des ondes de forme cosinusoïdales ou sinusoïdales. Dans notre cas, la forme de ces ondes est l'équivalent en trois dimension d'un sinus/cosinus. En additionnant un certain nombre (potentiellement infini) de ces ondes de base, pondérées par un coefficient, on peut obtenir n'importe quelle champ résultant. C'est ce qu'on appelle la '''transformée de Fourier''' des fonctions continues. Le champ de densité ne fait pas exception et on peut utiliser ce théorème pour décomposer le champ de densité en une somme d'ondes.
: <math>\delta(x,t) = \frac{1}{(2 \pi)^3} \int \overline{\delta}(\vec k) \cdot e^{- i (\vec k \cdot \vec x)} d \vec k</math>, avec <math>\vec k</math> le vecteur d'onde, un vecteur de norme <math>k = \frac{2 \pi}{\lambda}</math>.
 
===Le spectre de puissance===
On peut injecter l'équation précédente dans l'équation. Le résultat, très difficile à obtenir, est pourtant surprenamment simple :
 
Le '''spectre de puissance''' donne l'ensemble des amplitudes de chaque onde sinusoïdale. Dit autrement, il donne l'amplitude pour chaque fréquence possible et est donc une fonction du type <math>P(k) = ...</math>. Il s'obtient avec la transformée de Fourier.
: <math>\frac{\partial^2 \overline{\delta}(k)}{\partial^2 t} + 2 H \frac{\partial \overline{\delta}(k)}{\partial t} - \frac{1}{a^2} \left[ c_s^2 k^2 + 4 \pi G \rho_m \right] \overline{\delta}(k) = 0</math>
 
Le spectre de puissance et la fonction de corrélation sont reliés l'un à l'autre, par la relation suivante :
 
: <math>P(k) = 2 \pi \int_0^{\infty} r^2 \cdot \frac{\sin kr}{kr} \cdot \epsilon(r) dr</math>
 
Dans le cas général, connaitre le spectre de puissance n'est pas suffisant pour décrire complètement le champ de densité, du moins d'un point de vue statistique. Il en est de même avec la fonction de corrélation qui est elle aussi un résumé imparfait de la distribution. Cependant, il existe des distributions statistiques pour lesquelles la connaissance du spectre de puissance et/ou de la fonction de corrélation suffit à décrire totalement les propriétés statistiques du champ décrit. Ce sont les '''champs aléatoires gaussiens''', pour lesquels la densité suit une distribution gaussienne (la fameuse courbe en cloche).
 
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