« Cosmologie/Les perturbations cosmologiques » : différence entre les versions

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Ligne 19 :
: <math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{1}{a} \rho ( \nabla \cdot u ) = 0</math>
 
: <math>\frac{\partial u}{\partial t} - H \cdot u + \frac{1}{a} u (\nabla \cdot u) = \frac{1}{a} \left( \frac{\nabla P}{\rho} + \nabla \Phi \right)</math>
 
On doit injecter <math>\rho(x,t) = \rho_m (1 + \delta)</math> dans ces équations.
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Prenons l'équation :
 
: <math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{1\rho}{a} \rho ( \nabla \cdot u ) = 0</math>
 
Injectons l’équation <math>\rho(x,t) = \rho_m (1 + \delta)</math> :
 
: <math>\frac{\partial [ \rho_m (1 + \delta) ] }{\partial t} + \frac{\rho_m (1 + \delta)}{a} \rho_m( \nabla \cdot u ) = 0</math>
 
Le terme <math>p_m</math> étant constant, on peut le sortir de la dérivée du terme de gauche.
 
: <math>\rho_m \frac{\partial (1 + \delta)}{\partial t} + \frac{(1 + \delta) \rho_m}{a} \rho_m ( \nabla \cdot u ) = 0</math>
 
Divisons par <math>\rho_m</math> :
 
: <math>\frac{\partial (1 + \delta)}{\partial t} + \frac{1 + \delta}{a} ( \nabla \cdot u ) = 0</math>
 
Simplifions la dérivée :
 
: <math>\frac{\partial \delta}{\partial t} + \frac{1 + \delta}{a} ( \nabla \cdot u ) = 0</math>
 
===Les équations linéarisées===
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: <math>\frac{\partial \delta}{\partial t} + \frac{1 + \delta}{a} (\nabla \cdot u) = 0</math>
 
: <math>\frac{\partial u}{\partial t} - H \cdot u + \frac{1}{a} u (\nabla \cdot u) = \frac{1}{a} \left( \frac{\nabla P}{\rho_m (1 + \delta)} + \nabla \Phi \right)</math>
 
Ces équations ne peuvent cependant pas être résolues à l'heure actuelle, car ce ne sont pas des équations linéaires. On peut cependant supposer que la perturbation est petite : <math>\delta << 1</math>. Si l'on prend cette approximation, on a immédiatement : <math>1 + \delta \approx 1</math>. Les équations deviennent alors :
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: <math>\frac{\partial \delta}{\partial t} + \frac{1}{a} (\nabla \cdot u) = 0</math>
 
: <math>\frac{\partial u}{\partial t} - H \cdot u + \frac{1}{a} u (\nabla \cdot u) = \frac{1}{a} \left( \frac{\nabla P}{\rho_m} + \nabla \Phi \right)</math>
 
De plus, cette approximation fait que les termes non-linéaires peuvent être négligés et supprimés des équations. Dit autrement, on ne conserve que les termes linéaires, en supprimant tout carré ou terme de puissance > 1. La conséquence est que le terme <math>\frac{1}{a} (u \cdot \nabla) u</math> dans l'équation d'Euler disparait. Les équations après linéarisation sont les suivantes :
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: <math>\frac{\partial \delta}{\partial t} + \frac{1}{a} (\nabla \cdot u) = 0</math>
 
: <math>\frac{\partial u}{\partial t} - H \cdot u = \frac{1}{a} \left( \frac{\nabla P}{\rho_m} + \nabla \Phi \right)</math>
 
===La divergence de l'équation d'Euler===
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Dans la suite des calculs, nous aurons à faire de nombreuses linéarisations, ce qui fait que les calculs se simplifieront progressivement. La première simplification, consiste à prendre la divergence de l'équation d'Euler. L'utilité de cette reformulation deviendra évidente sous peu. Prenons donc l'équation d'Euler et prenons sa divergence des deux cotés de l'équation :
 
: <math>\nabla . \left[ \frac{\partial u}{\partial t} - H \cdot u \right] = \nabla . \left[ \frac{1}{a} \left( \frac{\nabla P}{\rho_m} + \nabla \Phi \right) \right]</math>
 
La divergence d'une somme est la somme des divergences, ce qui simplifie le terme de gauche :
 
: <math>\nabla . \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla . (H \cdot u) = \nabla . \left[ \frac{1}{a} \left( \frac{\nabla P}{\rho_m} + \nabla \Phi \right) \right]</math>
 
On utilise ensuite la formule <math></math>, ce qui simplifie le terme de droite, ainsi que le terme : <math>\nabla . (H u)</math>.
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La divergence d'un gradient est identique au laplacien, ce qui donne :
 
: <math>\nabla . \frac{\partial u}{\partial t} + H \cdot (\nabla . u) = \frac{1}{a} \left[ \frac{\Delta P}{\rho_m} + \Delta \Phi \right]</math>
 
On applique alors l'identité suivante : <math>\nabla . \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial (\nabla . u)}{\partial t}</math>