« Cosmologie/L'évolution des perturbations avant le découplage » : différence entre les versions

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Cette équation dit simplement que la perturbation est stable : elle s'accentue au même rythme que l'expansion la dilue (terme d'entrainement de Hubble). En clair : la perturbation est stable et ne change pas. Mais rappelons-le, cela n'arrive que pour une longueur d'onde précise, appelée '''rayon de Jeans'''. Cette longueur d'onde donne la taille de la sur-densité pour laquelle la perturbation se stabilise. Cela fonctionne pour les perturbations sphériques, même si elles ne sont pas périodiques (la magie des fonctions de Fourier...). On le calcule comme suit :
 
: <math>(c_s^2 k)^2 = 4 \pi G \rho_m</math>
 
On divise par <math>c_s^2</math> :
 
: <math>k^2 = \frac{4 \pi G \rho_m}{c_s^2}</math>
 
On utilise alors l'équation <math>k = \frac{2 \pi}{\lambda}</math> :
 
: <math>\left(\frac{2 \pi c_s}{\lambda}\right)^2 = \frac{4 \pi G \rho_m}{c_s^2}</math>
 
On développe le carré :
 
: <math>\frac{4 \pi^2 c_s^2}{\lambda^2} = \frac{4 \pi G \rho_m}{c_s^2}</math>
 
Simplifions par <math>4 \pi^2</math> :
 
: <math>\frac{1c_s^2}{\lambda^2} = \frac{G \rho_m}{\pi c_s^2}</math>
 
Prenons l'inverse de l'équation précédente :
 
: <math>k\frac{\lambda^2}{c_s^2} = \frac{4 \pi }{G \rho_m}{c_s^2}</math>
 
On diviseMultiplions par <math>c_s^2</math> :
 
: <math>\lambda^2 = \frac{\pi c_s^2}{G \rho_m}</math>
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: <math>\lambda = \sqrt{\frac{\pi c_s^2}{G \rho_m}}</math>
 
Simplifions :
Factorisons les constantes :
 
: <math>\lambda = c_s \sqrt{\frac{\pi}{G \rho_m}}</math>