David Legrand
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Ligne 84 :
== Pour les tests ==
{{Exemple|Exemple de transformations géométriques|Problème de géométrie|Dans le repère des complexe, soit:<br />* Le point <math>A</math> d'affixe <math>z_A = 1 + i\sqrt{3}</math><br />* Le point <math>B</math> d'affixe <math>z_B = 1 - i\sqrt{3}</math><br />* Le point <math>C'</math> d'affixe <math>z_C' = 2i</math>.
1) Calculer l'affixe du point <math>C</math> tel que <math>C'</math> soit l'image de <math>C</math><br />par la rotation de centre <math>O</math> (d'affixe <math>z_O = 0</math>) et d'angle <math>\frac{\pi}{2}</math>
On a <math>z_C - 0 = \exp{\frac{i\pi}{2}}(z_C' - 0)</math>, d'où <math>z_C = 2i \times \exp{\frac{i\pi}{2}} = 2i \times (\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)) = -2 </math>.<br /><br />
2) Représenter les points dans le plan des complexes dont la base orthonormé directe est <math>(O, \vec u, \vec v)</math>
Faire le dessin.<br /><br />
3) Soit le triangle <math>(ABC)</math>
a) Calculer l'angle définie par le couple de vecteurs <math>(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB})</math>.
On fait <math>\frac{z_A - z_C}{z_B - z_C} = \frac{1 + i\sqrt{3} + 2}{1 - i\sqrt{3} + 2} = \frac{(3 + i\sqrt{3})(3 + i\sqrt{3})}{(3 - i\sqrt{3})(3 + i\sqrt{3})} = \frac{9 + 6i\sqrt{3} - 3}{9 + 3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \exp{\frac{i\pi}{3}}</math><br /><br />
b) Déterminer la nature du triangle <math>(ABC)</math>
L'angle définie par le couple de vecteurs <math>(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB})</math> est <math>\frac{\pi}{3}</math>, le triangle est équilatéral.<br /><br />
c) Déterminer le centre et le rayon du cercle <math>\Gamma</math> circonscrit au triangle.
Le triangle étant équilatéral, le centre du cercle circonscrit est le centre de gravité<br />(on rappelle que les droites remarquables (médianes, médiatrices...) sont confondues).<br />Soit <math>I</math> le milieu de <math>[AB]</math> (centre de gravité de deux points aux coefficients égaux).<br />On a <math>z_I = \overrightarrow{OI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA}) = \frac{1}{2}(z_B + z_A) = \frac{1}{2}(1 - i\sqrt{3} + 1 + i\sqrt{3}) = 1</math><br />L'affixe du centre de gravité <math>G</math> peut être calculer en définissant l'homothétie de centre <math>C</math> et de rapport <math>\frac{2}{3}</math><br />(d'après la définition du centre de gravité) qui transforme <math>I</math> en <math>G</math> .<br />On a <math>z_G = \frac{2}{3}(z_I - z_C) + z_C = \frac{2}{3}(1 + 2) - 2 = 2 - 2 = 0</math><br />Donc <math>G</math> est confondu avec <math>O</math>.<br />Le rayon du cercle circonscrit est bien entendu la distance <math>OC</math>, c'est à dire <math>|z_C - z_O| = 2</math>.<br />Le cercle <math>\Gamma</math> circonscrit au triangle est de centre <math>O</math> et de rayon <math>2</math>.<br /><br />
4) Soit <math>r</math> la rotation de centre <math>B</math> et d'angle <math>\frac{\pi}{3}</math>.
a) Quelles sont les images des points <math>(A, B, C)</math> par <math>r</math>. (on utilisera les notations <math>(A', B', C')</math>)
* <math>z_B' = z_B</math> car c'est le centre (le point invariant) de la rotation.<br />
* <math>\begin{matrix}z_A' &=& \exp{\frac{i\pi}{3}} (z_A - z_B) + z_B \\ \ &=& \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(1 + i\sqrt{3} - 1 + i\sqrt{3}) + 1 - i\sqrt{3} \\ \ &=& i\sqrt{3} - 3 + 1 - i\sqrt{3} = 1 + -2\\ \ &=& z_C\end{matrix}</math>
* De même, <math>z_C' = 1 - 2i\sqrt{3}</math>
On peut remarquer que l'image du triangle équilatéral <math>(ABC)</math> par la rotation <math>r</math> reste un triangle équilatéral <math>(AB'C')</math>.
b) Quelle est l'image de <math>\Gamma</math> par <math>r</math>
L'image d'un cercle par une rotation est un cercle de même rayon, il suffit de déterminer l'affixe du centre <math>\Omega_2</math> de l'image de <math>\Gamma</math>.<br />On a <math>\omega_2 = \exp{\frac{i\pi}{3}} (z_0 - z_B) + z_B = \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(- 1 + i\sqrt{3}) + 1 - i\sqrt{3} = - 1 - i\sqrt{3}</math><br />Le cercle <math>\Gamma_2</math> de centre <math>\Omega_2</math> d'affixe <math>\omega_2 = - 1 - i\sqrt{3}</math> et de rayon <math>2</math> est l'image de <math>\Gamma</math> par la rotation <math>r</math><br />
c) Déterminer l'antécédent de <math>\Gamma</math> par <math>r</math>
De la même manière, mais '''il faut faire attention à bien reconnaître l'image et l'antécédent'''.<br />On a <math>z_0 - z_B = \exp{\frac{i\pi}{3}} (\omega_3 - z_B)</math>.<br /> Grâce aux propriétés de l'exponentielle, on a <math>\omega_3 = \exp{\frac{-i\pi}{3}} (-z_B) + z_B</math>. Au final, <math>\omega_3 = 2</math><br />Le cercle <math>\Gamma_3</math> de rayon <math>2</math> et de centre <math>\Omega_3</math> d'affixe <math>\omega_3</math> est l'antécédent de <math>\Gamma</math> par la rotation <math>r</math>.}}
{{Exemple|Exemple de transformations géométriques|Problème de géométrie|Dans le repère des complexes, soit :<br />* Le point <math>A</math> d'affixe <math>z_A = 1 + i\sqrt{3}</math><br />* Le point <math>B</math> d'affixe <math>z_B = 1 - i\sqrt{3}</math><br />* Le point <math>C'</math> d'affixe <math>z_C' = 2i</math>.<br /><br />
1) Calculer l'affixe du point <math>C</math> tel que <math>C'</math> soit l'image de <math>C</math><br />par la rotation de centre <math>O</math> (d'affixe <math>z_O = 0</math>) et d'angle <math>\frac{\pi}{2}</math><br />On a <math>z_C - 0 = \exp{\frac{i\pi}{2}}(z_C' - 0)</math>, d'où <math>z_C = 2i \times \exp{\frac{i\pi}{2}} = 2i \times (\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)) = -2 </math>.<br /><br />
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