« Le noyau atomique/Le modèle en couche du noyau » : différence entre les versions

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Du fait de leur charge, un proton et un neutron peuvent tout deux appartenir à la même couche. Si on prend en compte les autres nombres quantiques (qui sont les communs aux deux particules), on devine que chaque couche contient un nombre égal de protons et de neutrons. Cela permet d'expliquer pourquoi les noyaux les plus stables ont tendance à avoir le même nombre de protons et de neutrons : cela permet de remplir totalement les couches nucléaires. Si jamais il y a un excès de neutrons ou de protons, cet excès sera relégué dans une couche supérieure et aura donc un plus d'énergie que s'il était dans la couche du dessous. En se désintégrant dans l'autre type de nucléon, cet excès passera dans la couche inférieure en diminuera son énergie : le noyau devient alors plus stable.
 
==Un modèle introductif simple : le gasgaz de Fermi==
 
Une manière simple de modéliser l'organisation en couches du noyau est d'utiliser le modèle du '''gasgaz de Fermi'''. Un gasgaz de Fermi est un ensemble de plusieurs fermions (pour rappel, les fermions sont des particules de spin égal à <math>n + 1/2</math>). Le modèle suppose que les fermions en question n’interagissent pas, ce qui est formellement faux mais est une approximation suffisante pour ce qui suit. L'hypothèse de non-interaction entre fermions fait que le groupe de fermions se comporte comme un gaz parfait, ce qui permet de faire quelques dérivations assez simples. De plus, on suppose que le potentiel dans le volume occupé par le gasgaz est constant, ici le potentiel nucléaire dans le noyau. Un gasgaz de Fermi est donc, pour résumer, un ensemble de plusieurs fermions (les fermions sont des particules de spin égal à <math>n + 1/2</math>) qui n'interagissent pas ensemble et qui sont placés dans un potentiel constant.
 
La base de ce modèle etsest la statistique de Fermi qui donne le nombre d'états que peut prendre un fermionsfermion, s'il est confiné dans un volume V et que son impulsion est comprise entre un intervalle [ p , p + dp ] :
 
: <math>n(p) dp = \frac{4 \pi}{h^3} V p^2 dp</math>
 
AÀ partir de cette équation, le modèle de Fermi donne diverses expressions. La première est celle qui donne l'énergie d'un nucléon en fonction de l'état qu'il occupe. Vous savez que les particules dans le noyau atomique ne peuvent pas avoir une énergie arbitraire. Leur énergie évolue par paliers, par niveaux d'énergie quantifiés. A zéro absolu, lale premier nucléon occupe le premier palier, le second occupe le second palier, et ainsi de suite. Le modèle du gasgaz de Fermi donne la différence d'énergie entre lale palier le plus bas, et celui occupé par la énième particule, pour un noyau de N particules non-interagissantes. Cette différence est appelée, par abus de langage, l''''énergie de Fermi'''. Les calculs nous donnent une approximation de cette énergie de Fermi, qui vaut :
 
: <math>E_F = \frac{\hbar^2}{2 m} \left( \frac{3 \pi^2 N}{V} \right)^{2/3}</math>
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L'énergie moyenne par nucléon est donc assez grande, de l'ordre de 30 MeV.
 
L'énergie de Fermi est par définition une énergie cinétique : l'énergie cinétique que possède le énième nucléon dans un gasgaz de Fermi. Par défaut, le premier palier correspond à une particule sans impulsion, qui n'a que de l'énergie potentielle. Mais les niveaux au-dessus ne sont pas dans ce cas. En effet, le potentiel est le même dans tous le gasgaz, ce qui fait que l'énergie potentielle est la même pour toutes les particules. L'énergie de Fermi pour chaque palier ne peut être qu'une énergie cinétique. Aussi paradoxal que cela puisse paraitre, les particules d'un gasgaz de Fermi bougent quand même au zéro absolu ! On peut calculer l'impulsion de la énième particule en utilisant la formule de l'énergie cinétique, ce qui donne l''''impulsion de Fermi''' :
 
: <math>p_F = \sqrt{2 m E_F}</math>