« Planétologie/La planète Mercure » : différence entre les versions

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Dans cette section, nous allons calculer la taille du noyau de Mercure. Pour cela, nous allons partir de l'égalité suivante, qui dit que la masse totale d'une planète <math>M_t</math> est la somme de la masse du noyau <math>M_n</math> et la masse du manteau (on néglige la croûte) <math>M_m</math> :
 
: <math>M_t = M_m + M_n</math>
 
On peut alors remplacer la masse par le produit entre volume et masse volumique, ce qui donne :
 
: <math>D_t \times V_t = D_m \times V_m + D_n \times V_n</math>
 
Divisons alors par le volume total de la planète.
 
: <math>D_t = D_m \times \frac{V_m}{V_t} + D_n \times \frac{V_n}{V_t}</math>
 
On sait que <math> \frac{V_m}{V_t} + \frac{V_n}{V_t} = 1 </math>, ce qui permet d'écrire : <math>\frac{V_m}{V_t} = 1 - \frac{V_n}{V_t}</math>. En faisant le remplacement, on a :
 
: <math>D_t = D_m \times \left( 1 - \frac{V_n}{V_t} \right) + D_n \times \frac{V_n}{V_t}</math>
 
Développons :
 
: <math>D_t = D_m - D_m \times \frac{V_n}{V_t} + D_n \times \frac{V_n}{V_t}</math>
 
Factorisons <math>\frac{V_n}{V_t}</math>
 
: <math>D_t = D_m + ( D_n - D_m ) \times \frac{V_n}{V_t}</math>
 
Soustrayons <math>D_m</math> des deux cotés :
 
: <math>D_t - D_m = ( D_n - D_m ) \times \frac{V_n}{V_t}</math>
 
Réorganisons les termes :
 
: <math>\frac{V_n}{V_t} = \frac{D_t - D_m}{D_n - D_m}</math>
 
On peut alors résoudre cette équation en connaissant la densité de la planète et celles des divers composants du manteau et du noyau. Si on suppose que le manteau est composé essentiellement de silicates, sa densité doit être proche de celle des silicates, ce qui donne une densité de 3,34. Si on suppose que le noyau est composé de fer, sa densité doit être de 7,97. La densité de la planète est de 5,42. L’équation précédente devient donc :
 
: <math>\frac{V_n}{V_t} = \frac{5,42 - 3,34}{7,97 - 3,34}</math>
 
Le calcul nous donne :
 
: <math>\frac{V_n}{V_t} = 0,428</math>
 
En clair, le noyau prend 42,8% du volume de la planète.}}